불안정 항공기 시스템 식별을 위한 콜로케이션 기반 출력오차 방법

본 논문은 항공기 시스템 식별에 널리 사용되는 출력오차(Output‑Error, OEM) 방법의 한계를 짚고, 이를 콜로케이션(collocation) 기반으로 재구성한 새로운 접근법을 제시한다. OEM은 비행시험 데이터로부터 연속시간 상태‑공간 모델의 파라미터를 최대우도(MLE) 원칙에 따라 추정한다. 전통적인 구현 방식은 단일‑슈팅(single‑shooting)으로, 파라미터와 초기 상태만을 결정 변수로 두고 ODE를 직접 적분한다. 이 방식은 (1) 불안정 시스템에 적용하기 어려워 적분이 발산하거나 수치적 불안정성을 초래하고, (2) 초기 파라미터 추정이 부정확하면 비선형 최적화가 지역 최소점에 머무를 위험이 크다. 이에 저자들은 콜로케이션 방식을 도입한다. 시간 구간을 m개의 메쉬 포인트 τ₁…τ_m으로 나누고, 각 포인트에서 상태 변수 x_k를 추가 결정 변수로 설정한다. 시스템 동역학 ẋ = f(x,u,θ)와 출력 방정식 y = g(x,u,θ)는 각각 제약식으로 삽입되며, 다항식(예: 라그랑주 다항식)으로 상태 궤적을 근사한다. 이렇게 하면 파라미터와 상태를 동시에 최적화하는 구조가 되며, 이는 다중‑슈팅(multiple‑shooting)과 유사하지만 연속적인 제약식으로 구현되어 구현 복잡도가 낮다. 수학적으로는 원래의 최대우도 문제(6)와 콜로케이션 형태가 해를 공유함을 증명한다. 제약식은 ODE를 디스크리트화한 것이며, 메쉬 간격 Δt를 충분히 작게 잡으면 근사 오차는 O(Δtⁿ) 수준으로 수렴한다. 또한, 제약식이 연속적으로 미분 가능하므로 뉴턴‑형 최적화(IPOPT 등)와 결합했을 때 정확한 Jacobian·Hessian을 제공한다. 주요 장점은 다음과 같다. 1. **불안정 시스템 적용 가능**: 상태 변수를 메쉬 포인트에 직접 포함함으로써 적분 발산을 방지하고, 고유값이 양의 실수인 경우에도 안정적으로 수렴한다. 2. **초기값에 대한 강인성**: 파라미터와 상태를 동시에 추정하므로 초기 파라미터가 크게 틀려도 메쉬 포인트에서의 상태 추정이 보정 역할을 수행한다. 실험에서는 초기값을 무작위로 크게 변형해도 수렴이 관찰되었다. 3. **수렴 속도와 효율성**: 제약식이 미분 가능성을 유지하므로, 내재된 뉴턴‑형 최적화와 결합했을 때 반복 횟수가 감소하고 전체 계산 시간이 크게 단축된다. 4. **기존 코드 재사용**: 기존 OEM 구현을 크게 수정하지 않아도 되며, 메쉬와 다항식 차수만 조정하면 바로 적용 가능하다. 이는 항공기 설계팀이 기존 파이프라인을 유지하면서 새로운 불안정 비행시험에도 활용할 수 있게 한다. 실험에서는 세 가지 사례를 사용하였다. 첫 번째는 시뮬레이션된 6자유도 항공기 모델로, 불안정 모드(고각도 비행)에서도 정확한 파라미터 복원이 가능했다. 두 번째는 Jategaonkar가 공개한 실제 비행시험 데이터이며, 콜로케이션 기반 OEM은 단일‑슈팅 대비 2.5배 빠른 수렴을 보였다. 세 번째는 Gupta 등(2020)의 지상진동시험 데이터로, 복합 구조와 다중 자유도를 가진 시스템에서도 동일한 장점을 확인하였다. 모든 사례에서 콜로케이션 기반 OEM은 초기값이 크게 틀린 경우에도 최적해에 도달했으며, 최적화 과정에서의 목표 함수 진동이 현저히 감소하였다. 결론적으로, 콜로케이션 기반 출력오차 방법은 항공기 시스템 식별 분야에서 불안정 시스템, 초기값 불확실성, 계산 효율성 문제를 동시에 해결하는 실용적인 대안이다. 향후 연구에서는 실시간 식별, 적응형 제어, 그리고 대규모 고차원 모델에 대한 확장 가능성을 탐색하고, 자동 메쉬 생성 및 다항식 차수 선택을 위한 최적화 전략을 개발할 계획이다.