동적 PET 이미지의 요인 분석 가우시안 잡음 너머

** 본 논문은 동적 양전자 방출 단층촬영(PET) 영상에서 조직별 시간‑활동 곡선(TAC)을 추출하기 위한 요인 분석 기법을 재검토한다. 기존의 요인 분석(FADS)이나 비음수 행렬 분해(NMF) 방법은 데이터 적합 손실 함수를 제곱 오차(Least‑Squares) 혹은 Kullback‑Leibler(KL) 다이버전스로 설정한다. 이러한 선택은 각각 Gaussian 잡음과 Poisson 잡음 가정에 기반하지만, 실제 재구성된 PET 영상은 검출기 특성, 산란·감쇠 보정, 재구성 알고리즘 등에 의해 잡음 통계가 크게 변형된다. 따라서 정확한 잡음 모델을 사전에 정의하기 어려운 상황에서, 손실 함수를 보다 일반화된 형태로 설계하는 것이 필요하다. 저자들은 β‑다이버전스(β‑divergence)를 손실 함수 D(Y|X)로 채택한다. β‑다이버전스는 파라미터 β 하나로 다양한 통계 모델을 포괄한다. β=2이면 제곱 오차(가우시안), β=1이면 KL(포아송), β=0이면 Itakura‑Saito(곱셈적 Gamma)와 대응한다. 이와 같이 β값을 조정함으로써 PET 영상에 존재할 수 있는 복합 잡음(예: Poisson‑Gaussian, Poisson‑Gamma 등)을 효과적으로 근사할 수 있다. 논문에서는 세 가지 요인 분석 모델을 제시한다. 1. **β‑NMF**: 기본 비음수 행렬 분해 모델로, Y≈MA이며, M은 TAC(요인) 행렬, A는 각 voxel의 비율 행렬이다. 비음수 제약만을 적용한다. 2. **β‑LMM**: 선형 혼합 모델(Linear Mixing Model)로, NMF에 더해 비율 행렬 A에 합‑일치 제약(∑_k a_{kn}=1)을 부여한다. 이는 물리적 농도 해석을 가능하게 한다. 3. **β‑SLMM**: 특정 결합 선형 혼합 모델(Specific Binding LMM)로, 고흡수 영역에서 비선형성을 보정하기 위해 변동성 행렬 B와 사전 학습된 기저 V를 도입한다. 모델식은 X = MA + h·E₁·A⊙(V·B)이며, B는 공간적으로 희소하도록 L2 정규화가 적용된다. 각 모델은 블록 좌표 하강(Block‑Coordinate Descent) 방식으로 최적화된다. 변수별( M, A, B ) 업데이트는 MM(majorization‑minimization) 원리를 이용해 곱셈 형태의 업데이트 규칙으로 도출된다. 특히 β∈