채널 의존 상호 정보량 근사식

본 논문은 인덱스 변조(Index Modulation, IM) 시스템에서 링크 어댑테이션을 구현하기 위해 필요한 Mutual Information(MI) 계산 문제를 다룬다. 기존의 MI‑ESM(Effective SNR Mapping) 방식은 고정된 변조 스킴에 대해 SNR‑MI 매핑을 오프라인 Monte‑Carlo 시뮬레이션으로 구축하고, 이를 LUT 형태로 저장한다. 그러나 IM은 전송 심볼 s와 인덱스 l(채널 홉)이라는 두 자유도를 가지며, 전송 벡터 x=ls는 채널 행렬 H에 직접 의존한다. 따라서 MI는 채널 실현 H에 따라 매 순간 달라지고, 시간에 따라 변하는 채널에서는 매 프레임마다 복잡한 적분을 수행해야 하는데, 이는 연산량이 과다해 실시간 적용이 불가능하다. 이를 해결하기 위해 저자들은 MI를 다음과 같이 재정의한다. 수신 벡터 y=√γ h_l s + w 로 표현하고, (s,l)와 y 사이의 MI는 I(y;s,l)=H(s)+H(l)−h(s,l|y) 로 나타낸다. 여기서 h(s,l|y) 는 (3)식에 제시된 기대값 형태이며, 조건부 pdf f_{Y|S,L}(y|s,l)는 복소 가우시안으로 표현된다. 기대값을 직접 계산하면 Monte‑Carlo가 필요하지만, 저자들은 이를 확률변수 W′∼CN(0,1/γ) 에 대한 함수 g_{s,l}(W′) 로 변환한다. g_{s,l}(W′)=log₂∑_{s′,l′}exp(−γ‖x_{s,l}−x_{s′,l′}+W′‖²) 로 정의된다. 그 다음, Taylor Series Expansion(TSE)을 이용해 g_{s,l}(W′) 를 W′의 평균 μ_{W′}=0 주변에서 다항식으로 전개한다. W′의 중앙모멘트는 짝수 차수에만 비제로이며, (7)식에서 그 값을 제시한다. 이를 통해 1차와 2차 근사식을 도출한다. 1차 근사식은 I₁(y;s,l)=log₂(tS)−(1/tS)∑_{s,l}log₂ D_{s,l} 이며, D_{s,l}=∑_{s′,l′}exp(−γ‖h_l s−h_{l′} s′‖²) 로 정의된다. 이 식은 Jensen 부등식에 의해 실제 MI보다 상한을 제공한다. 2차 근사식은 1차식에 추가적인 보정항을 더해, I₂(y;s,l)≈log₂(tS G(D_{s,l})) + A·