일반계수 신호 모델을 위한 내부 SOCP 근사 강건 적응 빔포밍 알고리즘

본 논문은 일반계수 신호 모델을 대상으로 한 강건 적응 빔포밍(Robust Adaptive Beamforming, RAB) 문제를 다루며, 특히 원하는 신호의 실제 공분산 행렬에 대한 양의 반정합(PSD) 제약을 포함한다. 기존 연구에서는 이 문제를 반정합 프로그램(SDP) 형태로 변환하고, 반복적인 SDP 풀기를 통해 근사해를 구하는 방법이 주류를 이루었다. 그러나 SDP는 차원이 커질수록 계산 복잡도와 메모리 요구량이 급격히 증가해 실시간 구현에 한계가 있었다. 이에 저자는 SDP 대신 내부 근사(inner approximation) 기반의 2차원 원뿔 프로그램(SOCP) 연속을 설계한다. 문제 정의는 다음과 같다. 관측 벡터 \(\mathbf{x}(t)=\mathbf{s}(t)+\mathbf{i}(t)+\mathbf{n}(t)\) 로부터 출력 SINR을 \(\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{R}_s\mathbf{w}}{\mathbf{w}^H\mathbf{R}_{i+n}\mathbf{w}}\) 로 정의하고, \(\mathbf{R}_s\) 와 \(\mathbf{R}_{i+n}\) 를 각각 최악‑케이스 불확실성 집합 \(\mathcal{U}_s, \mathcal{U}_{i+n}\) 로 모델링한다. 최악‑케이스 SINR를 최대화하는 문제는 (4)~(6) 식으로 정식화되며, 이는 결국 비볼록 제약을 포함하는 비선형 프로그램이 된다. 저자는 이를 (13)·(14) 형태로 변형한 뒤, 비볼록 제약 \(\|\mathbf{Q}\mathbf{w}\| \le \sqrt{\alpha-\beta}\) 를 현재 해 \(\mathbf{w}^{(k)}\) 를 기준으로 \(\Re\{\mathbf{w}^{(k)H}\mathbf{Q}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\} \ge \alpha-\beta\) 로 선형화한다. 이렇게 하면 원문 문제의 feasible set보다 작은 집합을 정의하게 되며, 이는 “내부 근사”라 부른다. 이 내부 근사는 2차원 원뿔 제약(SOC)만을 포함하는 SOCP(17) 형태가 되며, 각 반복에서 다음과 같은 절차를 수행한다. 1. 초기 feasible point \(\mathbf{w}^{(0)}\) 를 선택한다. 2. 현재 \(\mathbf{w}^{(k)}\) 를 이용해 선형화된 제약을 구성하고, SOCP(19)를 풀어 새로운 해 \(\mathbf{w}^{(k+1)}\) 와 목적값 \(t^{(k+1)}\) 를 얻는다. 3. 수렴 기준 \(|t^{(k+1)}-t^{(k)}| \le \epsilon\) 가 만족될 때까지 2번을 반복한다. 이 알고리즘의 핵심 특성은 다음과 같다. - **단조성**: Proposition III.1 에서 증명된 바와 같이, 각 단계에서 얻는 목적값은 비감소한다. 이는 현재 해가 다음 단계의 제약을 항상 만족하기 때문이다. - **수렴성**: 제한된 feasible set과 비감소하는 목적값으로 인해 알고리즘은 수렴한다. 실험에서는 전역 최적값에 수렴함을 확인했으며, 이는 기존 DC‑POTDC 방법이 작은 오류 범위에서 전역 최적성을 보장하는 결과와 일치한다. - **복잡도**: 각 SOCP는 interior‑point 방법으로 \(\mathcal{O}(N^{3.5})\) 정도의 복잡도를 가지며, 이는 동일 차원의 SDP(\(\mathcal{O}(N^{6})\))보다 현저히 낮다. 시뮬레이션 설정은 10‑element ULA, 반파장 간격, INR=20 dB, 다양한 SNR(0~60 dB) 및 신호·간섭의 각도 확산을 포함한다. 결과는 두 가지 측면에서 비교되었다. 첫째, 평균 CPU 시간 측면에서 제안 알고리즘은 특히 고 SNR 구간에서 기존 K‑V 알고리즘(문헌