선형 시스템 목표 정상 출력 달성을 위한 정상 상태 입력 계산 방법

본 논문은 선형 시불변 시스템의 정상 상태 출력 추적 문제를 역방향으로 접근하여, 원하는 출력 형태에 대응하는 입력 신호를 계산하는 일반적인 알고리즘을 제시한다. 먼저 시스템 모델을 \dot{x}=Ax+Bu, y=Cx+Du 형태의 상태공간식으로 정의하고, 전이 함수 W(s)=C(sI−A)^{-1}B+D 를 도입한다. 논문은 시스템이 비정상 모드가 없고 오른쪽 가역(right‑invertible)하다는 가정 하에, 정상 상태 입력을 구할 수 있음을 전제한다. 다섯 가지 대표적인 출력 형태를 대상으로 각각의 입력 계산 절차를 상세히 기술한다. 1. **다항식 출력 (t^k)** - 입력 u(t)=t^k 를 시스템에 적용했을 때의 정상 상태 응답을 \tilde{y}(t)=C_0 t^k + C_1 t^{k−1}+…+C_k 로 전개한다. 여기서 C_i는 W(s)와의 복소 적분을 통해 정의된다. - 기본 입력 u_0(t)=t^k / C_0 로 시작하고, 남은 고차항을 차례로 소거하기 위해 u_i(t)=−\hat C_i C_0 t^{k−i} (i=1…k) 를 추가한다. - 각 단계에서 \hat C_i 를 갱신하며, 최종 입력 u_s(t)=∑_{i=0}^k u_i(t) 가 원하는 출력 \tilde{y}_d(t)=t^k 를 생성한다. 2. **사인파 출력 (Y_d sin(ω_d t+ψ_d))** - 입력을 u(t)=U sin(ω_d t+ψ) 로 가정하고, 시스템의 주파수 응답 W(jω_d) 를 이용한다. - 출력은 \tilde{y}(t)=|W(jω_d)| U sin(ω_d t+ψ+arg W(jω_d)) 가 된다. - 목표 출력과 일치시키기 위해 U=Y_d/|W(jω_d)|, ψ=ψ_d−arg W(jω_d) 로 계산한다. 3. **지수함수 출력 (Y_d e^{a_d t})** - 입력을 u(t)=U e^{a_d t} 로 두고, 전이 함수 W(a_d) 를 실수값으로 평가한다. - 정상 상태 출력은 \tilde{y}(t)=W(a_d) U e^{a_d t} 이므로, U=Y_d/W(a_d) 로 선택하면 목표 출력이 달성된다. 4. **의사주기신호 (e^{a_d t} sin(ω_d t+ψ_d))** - 입력을 u(t)=U e^{a t} sin(ω t+ψ) 로 가정하고, w(t)=ℒ^{-1}{W(s)} 를 정의한다. - 새로운 전이 함수 H(s)=ℒ{w(t) e^{a t}} 를 도입하면, 출력은 \tilde{y}(t)=|H(jω)| U e^{a t} sin(ω t+ψ+arg H(jω)) 가 된다. - 목표 출력과 일치시키기 위해 U와 ψ를 사인파 경우와 동일하게 계산한다. 5. **다항식·의사주기 결합 신호 (t^k e^{a t} sin(ω t+ψ))** - 입력 형태를 u(t)=t^k e^{a t} sin(ω t+ψ) 로 두고, 각 차수 i에 대해 H_i(s)=ℒ{t^i w(t) e^{a t}} 를 정의한다. - 출력은 \tilde{y}(t)=e^{a t} ∑_{i=0}^k C_i t^{k−i} |H_i(jω)| sin(ω t+ψ+arg H_i(jω)) 로 전개된다. - 앞서 제시한 다항식 입력 알고리즘을 확장하여, 각 차수별 보정 입력을 순차적으로 추가함으로써 원하는 복합 형태의 출력이 얻어진다. 논문은 각 경우에 대해 수식적 유도와 단계별 알고리즘을 제시하지만, 실제 시스템에 적용하기 위한 수치적 구현 방법이나 시뮬레이션 결과는 제공하지 않는다. 또한, 오른쪽 가역성 가정이 충족되지 않을 경우(예: 전이 함수에 영점이 존재하거나 비가역적인 MIMO 구조)에는 제시된 방법이 직접 적용되지 않는다. 이러한 한계에도 불구하고, 다양한 출력 형태를 포괄하는 일반적인 프레임워크를 제시함으로써, 피드포워드 제어 설계나 신호 생성 분야에서 이론적 기반을 제공한다.