무작위 방향 그래프 합의를 위한 최적 필터 설계

본 논문은 대규모 무작위 방향 그래프에서 분산 평균 합의를 가속화하기 위한 그래프 필터 설계 방법을 제시한다. 합의 과정은 각 노드가 초기 스칼라 값을 가지고 시작해, 인접 노드와의 로컬 통신을 통해 상태를 선형 결합하는 반복식 xⁿ = W(G) xⁿ⁻¹ 으로 모델링된다. 여기서 W(G) 는 그래프 구조 G 에 맞춰 설계된 가중치 행렬이며, 수렴을 보장하려면 W1 = 1, ρ(W – J_ℓ) < 1 등의 조건을 만족해야 한다. 기존 연구는 무향(undirected) 그래프에 대해 Wigner‑Semicircle 법칙이나 Girko‑Circular Law 등을 이용해 W 의 고유값 분포를 근사하고, 그 근사를 바탕으로 실수 고유값 영역에서 최소극대(min‑max) 다항 필터 p(z) 를 설계하였다. 하지만 방향성 그래프는 고유값이 복소평면에 분포하므로, 실수 기반 설계가 적용되지 않는다. 이를 해결하기 위해 논문은 Girko가 제시한 K25 정리를 활용한다. K25 정리는 독립적인 복소수 원소를 갖는 비헐미시안 랜덤 행렬 Ξ_N 에 대해, 기대값 B_N = E