강인한 희소 푸리에 변환 기반 투영 슬라이스 정리

본 논문은 자동차 레이더 신호 처리에서 다차원 이산 푸리에 변환(DFT)의 샘플·연산 복잡도가 높은 문제를 해결하고자, 기존에 제안된 FPS‑SFT(Fourier Projection‑Slice Sparse Fourier Transform)를 확장한 RFPS‑SFT(Robust FPS‑SFT)를 소개한다. 레이더는 FMCW 파형을 이용해 거리·속도·방위각을 측정하며, 디지털 빔포밍(DBF) 구조에서는 2‑D 혹은 3‑D 데이터 큐브가 형성된다. 이 데이터는 목표물 수 K가 전체 샘플 수 N에 비해 매우 작아 주파수 도메인에서 희소(sparse)한 특성을 가진다. 전통적인 FFT는 O(N) 샘플과 O(N log N) 연산을 요구해 실시간 저전력 구현에 부적합하므로, 희소성을 활용한 SFT가 연구되었다. 그러나 기존 SFT는 1‑D 전용이거나, 다차원 확장이 제한적이며, 특히 주파수가 그리드에 정확히 맞춰져 있지 않은(off‑grid) 경우와 잡음이 존재할 때 성능이 급격히 저하된다. FPS‑SFT는 “투영‑슬라이스” 아이디어를 차용해, 다차원 데이터의 1‑D 라인(슬라이스) 위에서 DFT를 수행하고, 이 라인‑DFT가 원래 다차원 DFT를 특정 방향으로 투영한다는 사실을 이용한다. 라인의 기울기 α와 오프셋 τ를 무작위로 선택함으로써 다양한 투영 방향을 확보하고, 라인 길이 L을 N₀와 N₁의 최소공배수로 설정해 정교한 정규성을 보장한다. 라인‑DFT 결과가 1‑스파스(한 빈에 하나의 유의 주파수만 존재)일 확률이 높아지면, 세 개의 서로 다른 오프셋 라인을 이용해 위상 차이를 계산해 주파수 좌표와 진폭을 복원한다. 이 과정이 FPS‑SFT의 핵심이다. 하지만 실제 레이더에서는 (1) 목표 주파수가 연속적인 값으로 오프그리드에 존재하고, (2) 잡음이 섞여 있어 위상 차이가 왜곡된다. 이를 해결하기 위해 RFPS‑SFT는 두 가지 보강책을 도입한다. 첫 번째는 2‑D 윈도우 함수를 적용해 사이드‑라벨(PSR)을 충분히 크게 설계한다. Lemma 1에 따르면, 윈도우의 ℓ₁·ℓ₂ 노름과 최대 SNR 사이에 특정 부등식이 성립하면, 가장 강한 주파수의 사이드‑라벨이 잡음보다 낮아져 누수가 무시될 수 있다. 중요한 점은 윈도우가 전체 데이터에 대해 설계되지만 실제로는 라인 샘플에만 적용되므로 샘플 복잡도는 증가하지 않는다. 두 번째 보강책은 “투표 기반 주파수 디코딩”이다. 기존 FPS‑SFT는 OFDM‑trick을 이용해 세 라인에서 얻은 위상 차이를 직접 나눠 정수 그리드 좌표를 추정한다. 그러나 잡음이 큰 경우 위상 차이가 크게 변동해 잘못된 정수값이 도출될 위험이 있다. RFPS‑SFT는 동일 기울기의 여러 라인(예: 5~10개)을 사용해 각각 독립적인 좌표 추정값을 얻고, 각 차원별로 다수결(voting) 방식을 적용한다. 이렇게 하면 잡음에 의해 발생하는 이상치가 다수결에 의해 억제되어 최종 좌표의 정확도가 크게 향상된다. 또한, 복원된 성분을 원본 신호에서 빼는 “그리디 서브트랙션”을 반복함으로써 신호가 점점 더 희소해지고, 이후 라인에서의 1‑스파스 빈 검출 확률이 증가한다. 알고리즘 전체 흐름은 다음과 같다. (1) 입력 데이터에 설계된 윈도우를 적용한다. (2) 무작위 기울기 α와 오프셋 τ를 선택해 라인을 정의한다. (3) 라인‑샘플을 추출해 L‑점 DFT를 수행한다. (4) 1‑스파스 빈을 탐지하고, (5) 동일 기울기의 여러 오프셋 라인에서 얻은 위상 차이를 이용해 투표 기반 좌표를 복원한다. (6) 복원된 주파수와 진폭을 원본 신호에서 제거하고, 목표 K가 모두 복원될 때까지 반복한다. 이론적 분석에서는 라인 길이 L, 기울기 선택 확률, 그리고 윈도우 PSR이 복원 성공 확률에 미치는 영향을 정량화한다. 특히, Lemma 2와 Theorem 1을 통해 무작위 라인 선택이 전체 주파수 공간을 균일하게 커버함을 보이고, 투표 단계가 잡음에 대한 오류 확률을 지수적으로 감소시킴을 증명한다. 시뮬레이션 결과는 2‑D(거리·방위)와 3‑D(거리·속도·방위) 레이더 시나리오에서 수행되었다. K=10~30개의 목표가 존재하는 경우, RFPS‑SFT는 FFT 대비 샘플 수를 5~12배, 연산 시간을 8~15배 절감하면서도 평균 주파수 오차가 0.3 % 이하로 유지되었다. 특히 SNR이 -5 dB 이하인 저신호 환경에서도 투표 기반 디코딩은 성공률을 70 % 이상 유지했으며, 기존 FPS‑SFT는 30 % 이하에 머물렀다. 또한, 오프그리드 주파수에 대해 윈도우 적용 후에도 복원 정확도가 크게 저하되지 않음이 확인되었다. 결론적으로, RFPS‑SFT는 자동차 레이더와 같은 다차원 희소 신호 처리에서 샘플·연산 효율성을 크게 개선하면서, 오프그리드와 잡음이라는 현실적인 제약을 효과적으로 극복한다는 점에서 실시간 저전력 구현에 매우 유망한 기술이다. 향후 연구에서는 하드웨어 구현, 동적 목표 추적, 그리고 비정상적인 잡음 모델에 대한 확장이 제안된다.