정상 시계열의 라데마허 복잡도와 일반화 오류 제어

본 논문은 “정상 시계열의 라데마허 복잡도”라는 주제로, 과거 관측값을 이용해 미래값을 예측하는 시계열 모델의 일반화 오류를 라데마허 복잡도를 통해 제어하는 새로운 이론적 프레임워크를 제시한다. 1. **배경 및 동기** 통계학습 이론에서는 일반화 오류를 모델 복잡도와 데이터의 무작위성에 의해 제어한다. 전통적으로는 i.i.d. 데이터에 대해 라데마허 복잡도(Rademacher complexity)를 사용해 위험 상한을 도출했으며, 이는 Bartlett & Mendelson(2002)의 결과가 대표적이다. 그러나 시계열 데이터는 시간 의존성을 갖기 때문에 i.i.d. 가정이 깨진다. 기존 연구는 이를 완화하기 위해 mixing 조건(예: α‑mixing, β‑mixing)이나 순차적 라데마허 복잡도(sequential Rademacher complexity)를 도입했지만, 증명이 복잡하고 상한이 느슨하거나 계산이 어려운 경우가 많았다. 2. **핵심 가정** 저자들은 두 가지 핵심 가정을 사용한다. 첫째, **정상성(stationarity)**: 모든 유한 차원의 분포가 시간 이동에 대해 불변한다. 둘째, **에르고딕성(ergodicity)**: 이동 불변 집합에 대한 확률이 0 또는 1이며, 따라서 장기 평균이 기대값에 수렴한다(Ergodic Theorem, Prop. 3). 이 두 가정은 시계열이 실제로는 여러 에르고딕 성분들의 혼합으로 이루어질 수 있음을 인정하면서도, 단일 관측 경로만을 다룰 때는 에르고딕성을 가정해도 손실이 없다는 점을 강조한다. 3. **라데마허 복잡도의 정의 확장** i.i.d. 경우와 동일하게, 라데마허 변수 ξ₁,…,ξₙ을 도입하고, 함수 클래스 H(손실 함수와 예측 모델의 합성) 위에서 \( R_n(H)=\mathbb{E}_{Y,\xi}\big