추정된 사전확률 기반 탐지기의 최소최대 최적 경계

본 논문은 사전확률이 알려지지 않은 이진 가설 검정 문제를 다루며, 조건부 밀도 $p_0(x),p_1(x)$ 가 사전에 알려져 있다고 가정한다. 실제 사전확률 $q=P(Y=1)$ 를 알 수 없으므로, 훈련 데이터로부터 $q$ 를 추정하고, 추정값을 베이즈 판정식에 대입한 플러그인 탐지기를 설계한다. 위험 함수 $R(q')$ 를 $q'$ 에 대한 함수로 정의하고, $R(q)$ 가 최소 위험임을 보인다. **1. 문제 정의와 위험 함수** - $X\in\mathbb{R}^d$ 가 관측값, $Y\in\{0,1\}$ 가 라벨. - 베이즈 판정은 $\Lambda(x)=p_1(x)/p_0(x)$ 와 $q$ 로 정의된 임계값 $\frac{1-q}{q}$ 를 이용한다. - 위험 $R(q')=q P_1(q')+(1-q)P_0(q')$ 로 표현되며, $P_1,P_0$ 는 각각 $H_1,H_0$ 하에서 $\Lambda(x)$ 가 임계값보다 작거나 큰 확률이다. **2. 라벨이 있는 경우 (Supervised)** - MLE $\hat q=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{1}\{Y_i=1\}$ 를 사용한다. - Theorem 1: 모든 $(p_0,p_1,q)$ 에 대해 $\inf_{\hat q}\sup \mathbb{E}