보안 그래프와 무선 네트워크 연결성 분석

** 본 연구는 무선 ad‑hoc 네트워크에서 물리적 레이어 보안을 고려한 새로운 랜덤 기하 그래프 모델, ‘보안 그래프(Secrecy Graph)’를 제안하고 그 수학적 특성을 체계적으로 분석한다. 모델은 두 종류의 점 집합, 즉 정상 사용자 집합 Φ(‘좋은 사용자’)와 도청자 집합 Ψ(‘나쁜 사용자’)를 정의하고, 기본 그래프 Ĝ 를 모든 정상 사용자 간에 완전 연결된 그래프(또는 반경 r 의 디스크 그래프)로 설정한다. 이후 각 정상 사용자 쌍 (xi, xj) 사이에 도청자가 거리 δ(xi,xj) 이하에 존재하면 해당 방향(edge) 를 제거함으로써 보안 제약을 반영한다. 이렇게 만든 방향 그래프 ~G 로부터 양방향만 허용하는 기본 그래프 G와 단방향이라도 허용하는 확장 그래프 G′ 를 파생한다. **1. 격자 모델** 기본 그래프를 2차원 정사각 격자 L₂ 로 두고, 도청자를 격자 변의 중간에 배치하면 이는 전통적인 bond percolation 문제와 동등함을 보인다. 따라서 G′ₚ 의 퍼콜레이션 임계 확률은 정확히 pc=½ 이다. 도청자를 격자 정점에 놓는 경우는 site percolation 에 해당해 pc≈0.41 로 추정된다. 이 결과는 도청자 배치 방식에 따라 네트워크 연결성에 미치는 영향이 크게 달라짐을 시사한다. **2. 포아송 모델** 기본 그래프를 반경 r 의 Gilbert 디스크 그래프 Ĝ_r 로 두고, Φ 를 강도 1 의 PPP, Ψ 를 강도 λ 의 독립 PPP 로 가정한다. 주요 분석 내용은 다음과 같다. - **정점 차수와 고립 확률**: 무한 전송 반경(r→∞)일 때 방향 그래프 ~Gλ,∞ 의 out‑degree 가 기하분포를 따르며 평균 1/λ 이다. 일반 r 에 대해서는 차수 분포가 (14)식으로 주어지고, λ→0 일 때는 포아송, λ→∞ 혹은 r→∞ 일 때는 기하분포로 수렴한다. 고립 확률은 P