클러스터링이 의미하는 네트워크 기하학

논문은 “네트워크가 기하학적이라면 어떤 구조적 특성을 보여야 하는가?”라는 질문에서 출발한다. 기존에는 무작위 그래프 모델이 정의하는 확률 분포가 복잡해 실제 네트워크가 해당 모델의 전형적인 표본인지 판단하기 어려웠다. 저자들은 이러한 난관을 극복하기 위해, 네트워크의 구조적 특성 중에서도 가장 기본적인 두 가지, 즉 기대 차수 \(\bar k\)와 기대 삼각형 수 \(\bar t\) (또는 클러스터링 \(\bar c\))를 모든 정점에 동일하게 고정하는 최대 엔트로피 앙상블을 설계한다. 이 앙상블은 엣지 독립 베르누이 변수들의 집합으로, 각 엣지의 연결 확률 \(p_{ij}\)는 자유롭게 조정될 수 있다. 그러나 단순히 확률 행렬을 임의로 선택하면 다른 숨은 제약이 생길 수 있기 때문에, 그래프온(graphon)이라는 연속적인 확률 함수 \(p(x,y)\)를 도입해 무한 정점 수 극한에서 제약을 정확히 구현한다. 희소 그래프를 다루기 위해 그래프온을 전체 실평면 \(\mathbb R^2\)에 정의하고, 유한한 정점 수 \(n\)에서는 \(