완전 목걸이와 그 응용

본 논문은 de Bruijn 문자열을 일반화한 ‘완전 목걸이(Perfect Necklace)’라는 새로운 개념을 도입한다. 알파벳 A(크기 b)를 고정하고, 길이 ℓ인 순환 문자열을 ‘목걸이’라 부른다. 정의 1에 따라 (k,n)-완전 목걸이는 길이 n·b^k이며, 모든 길이 k 단어가 정확히 n번, 서로 다른 n개의 위치(mod n)에서 나타나는 목걸이이다. k=n인 경우를 ‘완전 목걸이’라 하며, 이는 de Bruijn 목걸이(k,1)와 일대일 대응한다. 첫 번째 주요 결과는 차이가 알파벳 크기와 서로소인 등차수열이 완전 목걸이를 만든다는 정리이다 (Theorem 5). 구체적으로, A={0,…,b−1}라 하고, r과 b가 서로소일 때, A^k의 원소를 정수 0,…,b^k−1에 대응시킨 뒤, 등차수열 0, r, 2r,…,(b^k−1)r (mod b^k)으로 만든 문자열을 목걸이로 보면, 이는 (k,b^k)-완전 목걸이가 된다. 여기서 전이 함수 σ(w)=w+r(mod b^k)는 전사이며, Lemma 4의 조건을 만족해 모든 앞·뒤 조합이 유일하게 매칭됨을 보인다. 특수한 경우 r=1이면, A^k의 모든 단어를 사전 순으로 나열한 ‘정렬 목걸이’가 된다. Corollary 6에 의해 이는 언제나 (k,b^k)-완전 목걸이가 되며, 따라서 임의의 k에 대해 완전 목걸이가 존재함을 즉시 얻는다. 두 번째 주요 부분은 (k,n)-완전 목걸이를 그래프 이론으로 모델링하는 것이다. 정의 8에서 제시된 ‘astute graph’ G_{k−1,n}은 정점 (u,v) (u∈A^{k−1}, v∈ℤ_n)이며, 인접 조건은 u와 u′가 k−2 문자 겹치고, v→v′가 모듈러 n에서 한 단계 증가하는 경우이다. 이 그래프는 b-정규, 강연결이며, Eulerian 회로 하나가 (k,n)-완전 목걸이 하나에 대응한다 (Corollary 14). 그러나 하나의 목걸이가 여러 회로에서 유도될 수 있기에, 목걸이의 주기 L=j·b^k와 j|n, d_{b,n}|j (d_{b,n}=∏_{p|b}p^{ν_p(n)})를 이용해 불변량을 정리한다 (Proposition 12). 세 번째 단계에서는 BEST 정리와 그 변형을 이용해 G_{k−1,j}의 Eulerian 회로 수 e(j)를 정확히 구한다. Lemma 19에 따르면 \