평행가능 구의 서브리만지안 기하학: S³와 S⁷의 새로운 구조 비교

본 논문은 두 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 3차원 구 S³에 존재하는 세 가지 서브리만지안 구조를 체계적으로 비교한다. (1) 오른쪽 Lie 군 작용에 의해 정의되는 수평분포는 SU(2)≅S³의 오른쪽 불변 벡터장 X₁, X₂를 생성하고, 이들의 스팬이 𝔥₁을 형성한다. 이 분포는 접속 1‑형식 ω₃이 영이 되는 커널이며, ω₁, ω₂와 함께 전역 프레임을 제공한다. (2) 복소 2차원 단위구 B²⊂ℂ²의 경계인 S³에 자연스럽게 부여되는 CR 구조는 복소 접공간 T^{1,0}S³의 실부분을 수평분포 𝔥_CR로 만든다. 저자는 복소 구조가 정의하는 복소 접공간이 오른쪽 군 작용에 의해 얻은 𝔥₁과 동일함을 보여준다. (3) Hopf 사상 π:S³→S²를 S¹-주축 번들로 해석하면, 수평공간은 π_*에 대한 수직보완으로 정의되며, 이는 역시 𝔥₁과 일치한다. 세 경우 모두 리프벡터장 ξ는 동일하고, 서브리만지안 메트릭 g|_{𝔥}는 동일한 스케일링을 갖는다. 저자는 카르테시안 거리 d_{CC}를 직접 계산하고, 각 구조가 정의하는 거리와 지오데시가 동일함을 증명한다. 따라서 S³에 대한 서브리만지안 기하학은 이 세 관점이 서로 동등함을 확인한다. 두 번째 부분에서는 7차원 구 S⁷에 새로운 서브리만지안 구조를 두 개 제시한다. 첫 번째는 복소 4차원 단위구 B⁴⊂ℂ⁴의 경계인 S⁷에서 유도되는 CR 구조이다. 복소 접공간 T^{1,0}S⁷는 차원 3(복소)이며, 실부분은 차원 6의 수평분포 𝔥_CR⁷을 만든다. 이 분포는 전역 프레임 {X₁,…,X₆}을 갖고,