단위 사전 기반 희소 표현 모델링에서 MMSE와 MAP 디노이징 비교

본 연구는 희소 표현 모델링(sparse representation modeling)에서 베이지안 디노이징을 수행하는 두 가지 대표적인 추정기, 즉 Maximum‑A‑Posteriori (MAP)와 Minimum‑Mean‑Squared‑Error (MMSE) 추정기를 체계적으로 분석한다. 분석의 전제는 사전(dictionary)이 유니터리(unitary)하다는 가정이다. 유니터리 사전은 DᵀD=I를 만족하므로, 신호를 사전 기반 변환 좌표계로 투영했을 때 각 계수가 서로 독립적인 1‑차원 문제로 분리된다. 이 특성을 이용해 복잡한 다변량 베이지안 추정 문제를 단순화하고, 각 계수에 대한 닫힌 형태의 수축 함수를 도출한다. 먼저, 신호 모델은 x = Dα 로 표현되며, α는 스파스 베르누이‑가우시안 혼합 확률분포를 따른다. 구체적으로 각 α_i는 확률 ρ로 가우시안 N(0,σ_α²)를, 1−ρ로는 0(즉, δ함수)으로 샘플링된다. 관측 모델은 y = x + w, w∼𝒩(0,σ_w²)이며, 사전이 유니터리이므로 변환 좌표 z = Dᵀy = α + η (η∼𝒩(0,σ_w²))가 얻어진다. **MAP 추정** MAP 추정은 사후 확률 p(α_i|z_i) 를 최대화하는 α̂_i 를 찾는 과정이다. 베르누이‑가우시안 사전과 가우시안 잡음의 결합으로 인해 사후는 두 개의 가우시안 성분(0과 N(0,σ_α²+σ_w²))의 혼합이 된다. 로그우도 차이를 비교하면, 임계값 τ_MAP = σ_w √{2 log