하이브리드 시스템을 위한 빠른 불확실성 정량화: 폴리노미얼 카오스와 웨이브렛·전송 이론 통합

본 논문은 파라미터 불확실성이 존재하는 하이브리드 동역학 시스템에 대한 효율적인 불확실성 정량화(UQ) 방법을 제시한다. 서론에서는 전통적인 Monte‑Carlo와 Quasi‑Monte‑Carlo 방법이 고차원에서 느리게 수렴하는 문제와, 폴리노미얼 카오스(gPC)가 연속하고 부드러운 시스템에만 적용 가능하다는 한계를 지적한다. 하이브리드 시스템은 연속·이산 상태 전이와 리셋을 포함하므로, 이러한 불연속성을 다루는 새로운 접근이 필요함을 강조한다. 2절에서는 하이브리드 시스템을 (q, X, f, x₀, D, E, G, R) 형태로 정의하고, 연속 동역학 ˙x = f(x,λ,q)와 가드 조건에 의해 결정되는 이산 전이, 그리고 리셋 맵 R을 명시한다. 파라미터 λ가 확률분포를 갖는 경우, 시간에 따라 변하는 상태 x(t;λ)의 통계량(평균, 분산 등)을 구하고자 한다. 3절에서는 기존 gPC를 하이브리드 시스템에 확장한다. 먼저 두 모드(예: x≥0, x<0)로 나뉘는 시스템을 지시함수 1_R₁(x), 1_R₂(x) 로 표현하고, 상태를 다항 혼합 형태 x(t;λ)=∑_α a_α(t)H_α(λ) 로 전개한다. Galerkin 투영을 수행하면 계수 a_k(t)의 미분 방정식이 두 적분 영역 R₁(t), R₂(t) 에 대한 기대값 형태로 도출된다. 여기서 적분 영역은 상태에 따라 실시간으로 변하므로, 수치적으로 매 시간마다 재계산해야 하는 복잡성이 존재한다. 3.2절에서는 이러한 불연속성을 보다 정밀히 포착하기 위해 Wiener‑Haar 웨이브렛 전개를 도입한다. 파라미터 λ의 누적분포 함수 u(λ)를 이용해 Haar 웨이브렛 ψ_{j,k}(u) 로 전개하면, 전개 계수는 구간별 상수값을 갖는다. 따라서 적분은 구간별 λ 평균값만 필요하게 되어 계산량이 크게 감소한다. 이 방법은 특히 스위칭 경계 근처에서 확률밀도가 급격히 변하는 경우에도 정확히 재현한다. 스위칭 진동기 예제에서, x와 y 상태를 각각 Haar 전개하고, 가드 함수 1_R_i(x) 를 구간별 상수로 처리해 계수 방정식을 얻는다. 3.3절에서는 하이브리드 시스템에서 흔히 발생하는 상태 리셋을 다루기 위해 경계층(ε) 모델을 제시한다. 가드 조건 g(y)=0 근처에 얇은 층을 두고, |g(y)|≥ε 영역에서는 원래 동역학을, |g(y)|<ε 영역에서는 리셋 함수를 선형 보간식 (x⁺−x⁻)/ε 형태로 삽입한다. 이로써 리셋이 연속적인 미분 방정식 형태로 변환되어 gPC 전개에 그대로 적용 가능해진다. 바운싱 볼 예제에서는 높이 y와 속도 v에 대해 경계층을 적용하고, Haar 기반 gPC를 사용해 평균 궤적과 분산을 정확히 예측한다. 4절에서는 전송 이론 기반 접근법을 제시한다. 확률 밀도 ρ(x,λ,t) 가 보존식 ∂ρ/∂t + ∇·(Fρ)=0 를 만족한다는 점에서 출발한다. 여기서 F는 하이브리드 시스템의 흐름 벡터이다. ρ를 Haar 전개에 투영하면 계수들이 하이퍼볼릭 PDE 형태를 이루며, 특성선 적분을 통해 각 계수를 시간에 따라 전파한다. 이 방법은 다중 모드가 복잡하게 얽힌 경우에도 고차원 적분 없이 순간통계를 얻을 수 있다. 마지막으로 5절에서는 제안된 방법들의 성능을 수치 실험으로 검증한다. 스위칭 진동기와 바운싱 볼 시스템에 대해 Monte‑Carlo, Quasi‑Monte‑Carlo, 전통적 gPC와 비교했을 때, Haar‑gPC와 경계층 모델이 동일한 정확도에서 10배 이상 빠른 수렴을 보였다. 특히 리셋이 포함된 바운싱 볼에서는 경계층 ε=0.01 로 설정했을 때 평균 궤적이 Monte‑Carlo 평균과 거의 일치하였다. 전송 이론 기반 방법은 고차원 파라미터(≥5)에서도 안정적인 순간통계 추정을 가능하게 함을 확인하였다. 결론에서는 하이브리드 시스템의 불연속성을 효과적으로 다루는 두 가지 새로운 도구(웨이브렛 기반 gPC와 전송 이론)와 그 적용 가능성을 강조하며, 향후 비선형 가드, 다중 리셋, 실시간 제어와의 연계 연구 방향을 제시한다.