최적 방사선 치료 계획을 위한 최소 엔트로피 모델

본 논문은 방사선 치료 계획을 최적 제어 문제로 정형화하고, 이를 해결하기 위한 새로운 수학·물리 모델을 제시한다. 먼저, 조직 내 방사선 입자의 전파를 기술하기 위해 시간‑의존 볼츠만 전송 방정식(1)을 도입한다. 여기서 ψ(t,x,Ω)는 시간 t, 위치 x∈Z(3차원 유한 영역), 방향 Ω∈S²에 대한 입자 밀도이며, 흡수·산란 단면 σₜ(x), σₛ(x)와 Henyey‑Greenstein 산란 커널 s_{HG}(x,Ω·Ω′)를 사용해 비균질·이방성 효과를 정확히 반영한다. 외부·내부 방사원은 q(t,x,Ω)와 q₁(t,x,Ω)로 구분되지만, M₁ 근사에서는 경계 입사 제어 q₁를 0으로 가정하고, 전체 제어는 q만을 고려한다. 제어 가능한 변수 q는 비음수이며, 각 위치 x에서의 전체 방사량 ∫_{S²}q(t,x,Ω)dΩ ≤ U(x)라는 물리적 상한을 가진다. 이 제약은 실제 치료기기의 출력 제한을 모델링한다. 목적함수는 두 가지 형태를 다룬다. 첫 번째는 quadratic tracking functional J_T(ψ,q)=∫_Z c₁(x)(Dψ(x)−D*(x))²dx + ∫_Z c₂(x)D(q)²dx, 여기서 Dψ(x)=∫₀ᵀ∫_{S²}ψ dΩdt는 총 선량, D(q)는 제어의 총 방사량이며, 가중치 c₁, c₂는 종양·위험 조직·정상 조직을 구분해 강조한다. 두 번째는 선형‑이차(LQ) 모델 기반의 세포 사멸 최소화 functional J_SF(ψ,q)=a₀∫_Z ρ₀(x)exp(−α₀Dψ−β₀Dψ²)dx + Σ_{i=1}^N a_i∫_Z ρ_i(x)