재생 MCMC 평균제곱오차 비대칭 경계와 신뢰구간 설계

본 논문은 마코프 체인 몬테카를로(MCMC) 시뮬레이션에서 평균제곱오차(MSE)를 비점근적으로 제어하고, 이를 기반으로 정확한 신뢰구간을 구성하는 새로운 이론적 틀을 제시한다. 핵심 아이디어는 Nummellin‑Athreya‑Ney가 제안한 split‑chain(재생) 구성을 이용해 MCMC 경로를 i.i.d. “여정”(excursion)으로 분해하는 것이다. 1. **문제 설정 및 기존 방법의 한계** - 목표는 π‑분포에 대한 기대값 θ=πf 를 추정하는 것이며, 전통적인 고정 길이 추정식 ˆθ_{fix,t,n}= (1/n)∑_{i=t+1}^{t+n}f(X_i) 은 점근적 정규성(CL T)만을 보장한다. 비점근적 오차 한계는 일반적인 체인에 대해 거의 알려져 있지 않다. 2. **재생 구조와 여정 정의** - Assumption 2.1(소집합) : 집합 J⊂X, β>0, 측도 ν 존재하여 P(x,·)≥β I_{J}(x) ν(·). - (X_n,Γ_n) 라는 2‑차원 체인을 정의하고, Γ_{n-1}=1 일 때 재생이 발생한다. 재생 시점 T₀,T₁,… 를 정의하고, τ_k=T_k−T_{k-1} 로 여정 길이를, Ξ_k(f)=∑_{i=T_{k-1}}^{T_k-1}f(X_i) 로 여정 내 함수값 합을 만든다. 이때 (Ξ_k,τ_k)_{k≥1} 은 i.i.d.이며, Eτ₁=m, EΞ₁(f)=mθ. 3. **세 종류의 추정량** - **(a) ˆθ_{reg,r}** : r개의 완전 여정을 사용, 총 샘플 수 T_r는 랜덤. - **(b) ˜θ_{unb,r}** : m을 알고 있을 때만 사용 가능한 편향 없는 추정량, ˜θ_{unb,r}= (1/(r m))∑_{k=1}^{r}Ξ_k(f). - **(c) ˆθ_{reg‑seq,n}** : 최소 n개의 샘플을 확보하도록 R(n)=min{r: T_r>n} 를 정의하고, 그때의 평균값을 사용. 4. **비점근적 MSE 및 확률 경계** - Theorem 3.1: ˆθ_{reg,r} 에 대해 P(|ˆθ−θ|>ε) ≤