삼각형 범주의 유한군 작용에 대한 선형화 연구

본 논문은 “유한군이 삼각형 범주에 작용할 때, 그 작용을 선형화하여 새로운 삼각형 범주를 만들 수 있는가?”라는 질문을 중심으로 전개된다. 먼저, 삼각형 범주 \(T\) 는 일반적으로 DG‑enhancement \(A\) (전미 삼각형 DG‑카테고리)와 동형이라고 가정한다. 이때 \(G\) 의 작용이 \(A\) 위의 DG‑펑터로 주어지면, 각 객체 \(X\in A\) 에 대해 \(G\)‑선형화 구조 \(\lambda_{g}:X\to g^{*}X\) 를 부여한다. 이러한 선형화된 객체와 \(G\)‑불변 사상으로 이루어진 카테고리를 \(A^{G}\) 라 정의하고, 그 호모토피 카테고리 \(H^{0}(A^{G})\) 를 선형화된 삼각형 범주 \(T^{G}_{A}\) 라 명명한다. 논문은 먼저 선형화된 카테고리가 실제로 삼각형 구조를 유지하기 위해서는 \(A\) 가 “강하게 pre‑triangulated”이어야 함을 증명한다(정리 3.7). 이는 \(A\) 의 사전 삼각형 폐포가 DG‑동형이므로, 선형화된 객체에 대한 시프트와 콘을 다시 \(A^{G}\) 내에서 구현할 수 있음을 의미한다. 다음으로 구체적인 기하학적 상황을 다룬다. 매끄러운 사영다양체 \(X\) 에 대해 표준 DG‑enhancement \(D^{b}_{\mathrm{DG}}(X)=C_{\mathrm{DG}}(I(X))\) 를 사용한다. 자동사상 \(g\in\operatorname{Aut}(X)\) 는 Fourier–Mukai 변환 \(\Phi_{\mathcal{P}_{g}}\) 으로 표현되며, 이는 DG‑펑터로 승격된다. 따라서 유한군 \(G\subset\operatorname{Aut}(X)\) 의 작용은 \(D^{b}_{\mathrm{DG}}(X)\) 위에 정의되고, 위에서 만든 선형화 절차에 적용하면 \