19와 37 차수의 최대 행렬식과 포화 D 최적 설계

본 논문은 {+1,‑1} 원소로 이루어진 정방행렬의 최대 행렬식 문제, 즉 포화 D‑최적 설계 문제에 대해 두 차수 19와 37을 집중적으로 연구한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 문제의 배경과 기존 이론을 정리한다. Hadamard 행렬의 존재 조건과 최대 행렬식 상한식 Dₙ ≤ n^{n/2}을 소개하고, n이 0(mod 4)인 경우와 그 외 경우에 대한 보다 정교한 상한식(식 2, 3)을 제시한다. 특히 n≡3(mod 4)인 경우에 적용되는 Ehlich‑Barba 상한식(식 3)은 복잡하지만, 현재까지 알려진 가장 강력한 상한이다. 두 번째 부분에서는 후보 Gram 행렬을 찾는 알고리즘을 상세히 설명한다. 행렬 M을 차례로 확장하면서 대칭 양정치, 대각 원소 n, 원소가 n(mod 4)인 조건을 만족하도록 한다. 각 단계에서 가능한 열벡터 f와 허용 벡터 γ를 생성하고, 확장된 행렬의 행렬식이 사전 정의된 최소값 d²_min 이상인지 검증한다. 여기서 핵심은 정리 1(Enhanced Kounias & Moyssiadis)이다. 이 정리는 현재까지 알려진 상한식보다 더 강력한 부등식 u_r(c,d)와 (8), (9)를 제공한다. 특히 (9)는 비대각 원소가 -1인 경우에 적용 가능하며, 탐색 트리의 가지치기를 약 15 % 가속한다. 세 번째 부분에서는 찾은 후보 Gram 행렬을 실제 설계 행렬 R로 분해하는 절차를 다룬다. 기존 연구는 행과 열을 동시에 확장했으나, 저자들은 행을 순차적으로 추가하는 백트래킹 방식을 채택한다. 기본 제약 RRᵀ = G를 만족시키는 행 r_k를 찾기 위해 선형 방정식 시스템을 풀고, 해가 {+1,‑1} 원소로 제한되는지 확인한다. 탐색 효율을 높이기 위해 “프레이밍” 기법을 도입한다. 프레임은 연속된 열 인덱스 집합이며, 각 프레임에 대해 +1의 개수 x_i를 변수로 두어 정수 계획 문제(IP) 형태로 변환한다. 식 11, 12를 만족하는 x_i 조합을 찾고, 이를 바탕으로 행을 구성한다. 이 과정에서 가우스 소거와 열 피벗을 이용해 비기본 변수와 기본 변수를 구분하고, 비기본 변수를 정수 범위 내에서 전수 조사한다. 이렇게 하면 불필요한 중복 해를 크게 줄일 수 있다. 네 번째 부분에서는 19차와 37차에 대한 구체적인 결과를 보고한다. 19차에서는 후보 Gram 행렬을 모두 탐색한 결과, 행렬식이 2³⁰·7²·17인 경우가 유일하게 존재함을 확인한다. 이와 동등한 설계는 Smith, Cohn, Orrick, Solomon이 제시한 세 개뿐이며, 이들이 전부임을 증명한다. 즉, 19차의 최대 행렬식은 확정되고, 모든 포화 D‑최적 설계가 완전 열거되었다. 37차에서는 후보 Gram 행렬의 수가 급증하지만, 강화된 부등식과 프레이밍 기반 분해 알고리즘을 결합해 탐색을 수행한다. 결과적으로 행렬식이 2³⁹·3³⁶임을 증명하고, 이 값을 달성하는 여러 비동등 설계들을 발견한다. 정확한 설계 수는 아직 완전 파악되지 않았지만, 서로 다른 Hadamard 동등 클래스가 다수 존재함을 확인한다. 부록에서는 13차 {+1,‑1} 행렬에 대한 모든 가능한 행렬식 값을 계산해 스펙트럼을 완전히 규명한다. 이는 11차까지 알려졌던 결과를 확장한 것으로, 작은 차수에서의 구조적 패턴을 이해하는 데 기여한다. 마지막으로, 논문은 새로운 상한식과 효율적인 백트래킹 알고리즘을 결합함으로써, 기존에 해결되지 않았던 차수(특히 n≡3(mod 4)인 19와 37)를 성공적으로 해결했음을 강조한다. 이 방법은 향후 더 큰 차수나 다른 모듈러 클래스에 대한 최대 행렬식 문제에도 적용 가능할 것으로 기대된다.