정상성 가정 하 가설 검정의 완전 기준

본 논문은 유한 알파벳 \(A\) 위에서 정의된 정상·에르고딕 확률 과정에 대한 가설 검정 문제를 다룬다. 주어진 샘플 \(X_{1},\dots,X_{n}\) 이 귀무가설 \(H_{0}\subset E\) (에르고딕 과정의 집합)에서 생성되었는지, 아니면 대안 \(H_{1}=E\setminus H_{0}\) 에서 생성되었는지를 판단한다. 검정은 두 종류의 오류를 다루는데, 제1종 오류(귀무가설이 참일 때 잘못 기각)는 사전 지정된 유의 수준 \(\alpha\) 이하로 제한하고, 제2종 오류(귀무가설이 거짓일 때 잘못 채택)는 거의 확실히 유한 번만 발생하도록 요구한다(일관성 정의). **선행 연구**에서는 i.i.d. 데이터에 대해 귀무가설이 폐쇄 집합이면 일관 검정이 존재한다는 간단한 기준이 알려져 있다. 그러나 정상·에르고딕 과정에서는 구조가 복잡해 기존 결과를 바로 적용할 수 없으며, 제한된 문헌만이 특정 모델(예: 마코프, 숨은 마코프, 변동점 탐지)에서 일관 검정을 제시한다. **핵심 정의** 1. **분포 거리** \(d(\rho_{1},\rho_{2})=\sum_{k=1}^{\infty} w_{k}\,|\rho_{1}(B_{k})-\rho_{2}(B_{k})|\) (가중치 \(w_{k}=2^{-k}\)). 이는 메트릭이며, 정상 과정 공간 \(S\) 위에서 콤팩트하고 완비이다. 2. **경험적 거리** \(\hat d(X_{1..n},\rho)=\sum_{k} w_{k}\,|\nu(X_{1..n},B_{k})-\rho(B_{k})|\) 는 표본 빈도와 이론적 확률 차이를 측정한다. Lemma 1에 의해 \(\hat d\) 는 \(n\to\infty\) 에서 \(d\) 로 수렴한다. 3. **에르고딕 분해**: 임의의 정상 과정 \(\rho\in S\) 는 에르고딕 과정들의 혼합 \(W_{\rho}\) 으로 표현 가능하며, \(W_{\rho}(E)=1\) 이다. **검정 설계** 귀무가설 \(H_{0}\) 에 대해 폐쇄와 \(E\) 의 교집합을 고려한다. 샘플 \(X_{1..n}\) 에 대해 \