부분 관측 그래프 군집화를 위한 볼록 최적화 접근

**1. 연구 배경 및 문제 정의** 부분 관측 그래프는 실제 네트워크에서 흔히 나타나는 상황으로, 일부 노드 쌍에 대해서만 엣지 존재 여부를 알 수 있다. 이러한 제한된 정보 하에서 노드들을 밀집된 내부 연결과 희박한 외부 연결을 갖는 군집으로 나누는 것이 목표이다. 기존의 완전 관측 그래프에 대한 상관 군집화는 NP‑hard 문제이며, 부분 관측 경우에 대한 이론적 보장은 거의 없었다. **2. 기존 연구와 차별점** - **상관 군집화**: LP·SDP 기반 근사 알고리즘이 존재하지만, 클러스터 수를 사전에 지정하거나 복잡한 삼각 부등식 제약을 필요로 한다. - **Planted Partition 모델**: 완전 관측 상황에서 최소 클러스터 크기와 밀도 차이에 대한 여러 경계가 제시되었으나, 부분 관측을 직접 다루지는 않는다. - **부분 관측 그래프**: Oymak & Hassibi(2011) 등은 관측 확률에 대해 더 강한 제한을 두었고, 작은 클러스터 복구에 한계가 있다. 본 논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 “저랭크 + 희소” 행렬 분해를 이용한 볼록 최적화 모델을 제안한다. **3. 핵심 아이디어: 저랭크·희소 행렬 분해** 완전 관측된 이상적인 클러스터링에서는 인접 행렬 \(A\) 에 단위 행렬 \(I\) 를 더하면 블록 대각선 형태의 전부 1 행렬이 된다. 이는 클러스터 수와 동일한 랭크를 갖는 저랭크 행렬 \(K^{*}\) 로 표현될 수 있다. 실제 그래프는 \(K^{*}\) 에 불일치 행렬 \(B^{*}\) 를 더한 형태이며, \(B^{*}\) 는 비어 있지 않은 원소가 적은 희소 행렬이다. 따라서 관측된 부분만을 이용해 \