머신러닝으로 배우는 밀도 함수 근사

본 논문은 비상호작용 동일 스핀 페르미온을 1차원 박스에 가두어, 그들의 운동에너지(KE)를 전자밀도 n(x)의 함수로 근사하는 새로운 머신러닝 프레임워크를 제시한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 이론적 배경을 정리한다. 전자밀도는 Hohenberg‑Kohn 정리에 의해 전자계의 모든 정보를 담는 기본 변수이며, Kohn‑Sham DFT는 비상호작용 전자계의 KE를 정확히 계산한다. 그러나 전통적인 orbital‑free DFT는 Thomas‑Fermi와 같은 지역 근사에 의존해 정확도가 낮고, KE 함수의 미분이 불안정해 밀도 최적화에 실패한다. 따라서 KE를 직접 학습하는 것이 필요하다는 점을 강조한다. 두 번째 부분에서는 데이터 생성과 표현 방식을 설명한다. 외부 포텐셜 v(x)는 세 개의 가우시안 딥의 합으로 정의하고, 각 파라미터를 무작위로 샘플링해 2000개의 포텐셜을 만든다. 각 포텐셜에 대해 최대 4개의 페르미온을 채워 정확한 전자밀도와 KE를 Numerov 방법으로 계산한다. 밀도는 500점 균일 그리드에 discretize하고, L2 내적을 이용해 거리와 유사성을 정의한다. 이렇게 얻은 밀도 집합은 실제 물리적 시스템이 차지하는 저차원 매니폴드 M_N에 해당한다. 세 번째 부분에서는 머신러닝 모델, 즉 커널 릿지 회귀(KRR)를 도입한다. KRR는 선형 회귀에 비선형 커널을 적용해 고차원 특징 공간에서 선형 관계를 학습한다. 저자들은 가우시안(RBF), 라플라시안, 다항식 등 여러 커널을 시험하고, 정규화 파라미터 λ와 커널 폭 h를 교차검증(Leave‑One‑Out, K‑fold, Hold‑out)으로 최적화한다. 실험 결과, RBF 커널이 가장 낮은 평균 절대 오차(MAE)를 보이며, 적절한 h와 λ 선택이 과소/과대 적합을 방지한다는 점을 확인한다. 네 번째 부분에서는 KE 함수의 미분과 밀도 최적화 문제를 다룬다. KE를 직접 학습하면 함수 형태가 복잡해 δT/δn이 불안정해 Euler‑Lagrange 방정식 δT/δn = μ – v(x)를 풀기가 어렵다. 이를 해결하기 위해 저자들은 제약된 변분 원리를 도입한다. 즉, KE 근사 ˜T