포아송 시간변경을 이용한 마코프 카운팅 프로세스 전이율 폐쇄형식

본 논문은 연속시간 마코프 카운팅 프로세스의 시간축을 독립적인 단위율 포아송 과정으로 대체함으로써, 새로운 마코프 카운팅 프로세스의 전이율을 폐쇄형식으로 도출하는 방법을 제시한다. 기존 연구에서는 임의의 랜덤 시간 R(t) 에 대해 기대 전이확률을 적분해야 하는 비선형성 때문에 전이율을 명시적으로 구하기 어려웠으며, 이는 모델 해석과 적용을 저해하는 주요 장애물이었다. 저자는 이러한 문제를 “궤적 합성(trajectory composition)”이라는 새로운 접근법으로 해결한다. 먼저, 기본 프로세스 {X(t)} 를 시간동질적이며 단순(simple)하고, 보존(conservative)·안정(stable)한 마코프 카운팅 프로세스로 설정한다. 여기서 전이율은 q_X(x,1)=λ_X(x) 로 정의되며, 복합성이 없으므로 한 번에 하나의 이벤트만 발생한다. 이후 독립적인 단위율 포아송 과정 {N(t)} 을 시간변경으로 사용한다. 포아송 과정은 점프가 1씩 증가하는 특성을 갖기 때문에, S(t)=X(N(t)) 의 궤적을 직접 합성하면 S 의 전이율을 기대값이 아닌 확률 질량함수 형태로 바로 얻을 수 있다. 정리 1에 따르면, S 의 전이율은 q_S(s,k)=P{X(1)=s+k | X(0)=s} 이며, 전체 점프 강도는 λ_S(s)=1−e^{−λ_X(s)} 이다. 여기서 q_S(s,k) 는 X 가 1단위 시간 동안 k 번 점프하는 확률이며, λ_S(s) 는 S 가 현재 상태 s 에서 다음 점프가 일어날 확률을 나타낸다. 중요한 점은 λ_S(s) 가