숨겨진 난류 흐름을 위한 자기유사 사전과 파동렛 기반

본 논문은 이미지 시퀀스로부터 난류 유동장을 복원하는 역문제를 다루며, 베이지안 프레임워크 하에 사전 모델로 발산이 없고 등방성인 분수 브라운 운동(fractional Brownian motion, fBm)을 선택한다. fBm은 Gaussian이며, Hurst 지수 H (0 < H < 1)로 자기유사성을 제어하고, 난류의 2차 통계와 에너지 스펙트럼을 정확히 반영한다. 특히 H = 1(2차원 난류)와 H = 1/3(3차원 난류)와 같은 물리적 모델과 일치한다. 하지만 MAP 추정에 필요한 사전 항은 (−Δ)^{‑H+½}·div 연산자를 포함하는 분수 라플라시안 형태이며, 이는 비국소 연산으로 직접 구현이 어렵다. 이를 해결하기 위해 저자는 두 가지 파동렛 기반 전개를 제안한다. 첫 번째 전개는 “분수 라플라시안 파동렛 + Leray 투영” 형태의 화이트닝 파동렛이다. 스칼라 fBm에 대한 이상적인 화이트닝 파동렛이 존재하듯, 벡터 발산이 없는 fBm에 대해서는 파동렛을 (−Δ)^{‑H+½} 연산과 I − kkᵀ/‖k‖² Leray 투영에 결합한다. 이 파동렛은 Fourier 도메인에서 간단히 구현 가능하고, 파동렛 계수는 서로 독립·동일분포(N(0,σ²))를 갖는다. 따라서 MAP 최적화는 파동렛 계수 공간에서의 L2 정규화와 데이터 적합 항을 최소화하는 문제로 변환된다. 두 번째 전개는 “발산이 없는 파동렛”이다. 파동렛 자체에 Leray 투영을 내재시켜, 파동렛이 처음부터 발산이 없는 성질을 만족하도록 설계한다. 이 경우 파동렛 계수는 물리적 제약을 반영해 상관관계를 갖지만, 저자는 파동렛 연결 계수(connection coefficients)를 이용해 사전 공분산을 명시적으로 계산한다. 이를 통해 MAP 목적함수의 사전 항을 효율적으로 평가하고, 근사적인 MAP 최적화 절차를 설계한다. 두 전개 모두 정규 격자 위에서 정의된 파동렛을 사용하고, 주기화된 파동렛을 통해