강하게 G‑그레이드된 텐서 범주와 클리포드 이론

본 논문은 텐서 범주의 클리포드 이론을 체계적으로 구축한다. 서론에서는 고전적인 클리포드 정리와 강한 그레이드 링 이론을 언급하며, 이를 텐서 범주에 일반화하려는 동기를 제시한다. 텐서 범주의 기본 정의(선형성, 아벨리안, 정확한 이중함수 ⊗, 단위 객체 1, 연관법칙 α)와 모듈 범주의 정의(왼쪽·오른쪽 모듈, 연관 변환 m) 를 상세히 서술한다. 특히 모듈 범주의 서브모듈(Serre 서브카테고리)와 단순성 개념을 도입해, 이후 전개될 구조 정리의 대상이 되는 객체들을 명확히 한다. 섹션 2에서는 모듈 범주의 2‑범주적 구조를 정리한다. C‑선형 함자와 자연 변환, 그리고 C‑양선형 함자(양쪽 모듈 구조를 동시에 보존하는 함자)의 정의와 예시를 제시한다. 특히 예시 2.3에서 알제브라 A의 모듈 범주가 C‑모듈 범주가 되는 과정을 보여주며, 예시 2.5에서는 Hopf‑Galois 확장을 통해 오른쪽 Hopf‑모듈 범주가 C‑모듈 범주가 되는 구조를 설명한다. 섹션 3에서는 G‑그레이드 텐서 범주의 개념을 도입한다. C=⊕_{x∈G}C_x 로 분해되는 구조와, ⊗가 C_σ×C_τ→C_{στ} 로 보존되는 조건을 명시한다. 강한 G‑그레이드의 정의는 C_σ·C_τ⊆C_{στ} 의 포함이 등가가 되는 것으로, 이는 각 동질 성분에 가역 객체가 존재함과 동치임을 Lemma 3.1에서 증명한다. 이때 가역 객체는 ⊗에 대해 역원을 갖는 객체이며, 이는 교차곱 텐서 범주 C⋊G와 같은 주요 예시에서 자연스럽게 제공된다. 섹션 4는 논문의 핵심인 클리포드 정리(정리 1.5)를 증명한다. 먼저 C_e‑모듈 범주 M에 대해 Ω_{C_e}(M) 라는 단순 C_e‑서브모듈들의 동형류 집합을 정의하고, G가 이를 전이적으로 작용함을 보인다. 그 다음, 임의의 단순 서브모듈 N을 잡고, 그 안정군 H=Stab_G(