다중 규모 분석을 통한 베시코비치 사영 정리의 정량적 버전

테렌스 타오의 이 논문은 베시코비치 사영 정리의 정량적 버전을 다중 규모 분석을 통해 연구한다. 베시코비치 사영 정리는 유한 1차원 하우스도르프 측도를 가지는 평면 상의 순수 비정칙 집합에 대해, 거의 모든 방향의 사영이 1차원 르베그 측도 0임을 주장하는 기하학적 측도 이론의 기본 정리이다. 논문은 먼저 필요한 개념들을 정의한다. '구형 측도' S^1은 하우스도르프 측도 H^1과 동치인 측도로, 집합을 덮는 공들의 지름 합의 하한을 통해 정의된다. '파바르 길이' Fav(A)는 방향 ω와 절편 c에 의해 결정되는 직선 l_c,ω 중 집합 A와 교차하는 것들의 측도로, 사영의 '평균 크기'를 측정한다. '순수 비정칙성'은 모든 립시츠 그래프와의 교집합이 S^1-측도 0인 성질이다. 여기에 '정칙성 상수' R_E(ε, r, M)를 도입하여, 주어진 스케일 r과 립시츠 상수 M에서 집합 E가 두께 ε의 그래프 근방과 교차하는 비율의 상한으로 정량적 비정칙성을 측정한다. 명제 1.11은 이 정량적 정의가 기존의 정성적 정의와 동치임을 보인다. 주요 결과인 정리 1.13(정량적 베시코비치 사영 정리)은 다음과 같은 설정 하에 성립한다: 단위 원판에 포함된 컴팩트 집합 E가 S^1(E) ≤ L을 만족하고, N개의 스케일 0 < r_N,- ≤ r_N,+ ≤ ... ≤ r_1,- ≤ r_1,+ ≤ 1이 존재하여, (i) 각 스케일 쌍