패널 데이터에 적용한 출생‑사망‑이주 과정의 EM 추정법

본 논문은 연속시간 선형 출생‑사망‑이주(BDI) 과정을 다수의 독립적인 개체(예: 환자)에서 불규칙한 시간 간격으로 관측된 패널 데이터에 적용하는 새로운 통계적 방법을 제시한다. 먼저, 각 개체 p에 대해 출생률 λ_p와 사망률 µ_p를 로그‑선형 회귀식으로 표현한다. 즉, log λ_p = z′_{p,λ} γ_λ, log µ_p = z′_{p,µ} γ_µ 로 두어, 공변량 벡터 z와 회귀계수 γ를 통해 개인별 차이를 모델링한다. 이때 이민률 ν_p는 λ_p에 비례(ν_p = β λ_p)하도록 가정한다. 관측된 데이터는 각 개체의 상태 X_{p,t}를 시간점 t_{p,0},…,t_{p,n(p)}에서 기록한 것이며, 전체 로그우도는 전이 확률 p_{i,j}(Δt;λ,µ)의 곱으로 구성된다. 전통적인 최적화 방법은 파라미터 차원이 커질수록 수렴이 어려워지므로, 저자들은 EM 알고리즘을 채택한다. 완전 데이터는 연속시간 전체 궤적 X_{p,t}이며, 완전 데이터 로그우도는 상승 점프 수 N⁺, 하강 점프 수 N⁻, 총 입자시간 R에 대한 선형 형태로 정리된다. 따라서 E‑단계에서 필요한 기대값은 E