다중스케일 비선형 필터링의 차원 축소와 동질화 접근법

본 논문은 다중스케일 비선형 필터링 문제를 다루며, 빠른-느린 시간 스케일을 갖는 확률 시스템에서 차원 축소된 동질화 필터를 구축하고 그 수렴성을 정량적으로 분석한다. 1. **문제 설정** - 신호는 느린 변수 \(X_t^\varepsilon\in\mathbb R^m\)와 빠른 변수 \(Z_t^\varepsilon\in\mathbb R^n\)로 구성된 SDE 시스템으로 모델링된다. - 빠른 과정은 고정된 \(x\)에 대해 에르고딕이며 고유한 정역분포 \(\mu(x,\cdot)\)를 갖는다. - 관측은 \(Y_t^\varepsilon=\int_0^t h(X_s^\varepsilon ,Z_s^\varepsilon )ds+B_t\) 형태이며, \(B_t\)는 독립적인 표준 브라운 운동이다. 2. **Zakai 방정식과 듀얼** - 비정규화된 필터 \(\rho_t^\varepsilon\)는 Zakai 방정식(3)을 만족한다. - 저자들은 이 방정식의 듀얼 표현 \(v_{t}^{\varepsilon,T,\varphi}\)를 도입하고, \(\varepsilon\)에 대한 비대칭 전개를 수행한다. 전개 과정에서 0차 항은 평균화된 연산자 \(\bar L\)와 평균 관측 \(\bar h\)를 포함하고, 1차 및 2차 보정항이 빠른 과정의 변동성을 반영한다. 3. **동질화 필터의 정의** - 0차 항에 해당하는 동질화 비정규화 필터 \(\rho_t^0\)는 \