그래프 최적화 문제의 통계적 추정: 스패닝 트리를 중심으로

본 논문은 대규모 그래프에서 구조화된 부분그래프, 특히 스패닝 트리와 같은 최적화 구조의 기대 비용을 통계적으로 추정하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 먼저, 그래프 Gₙ=(Vₙ,Eₙ)와 정점 색칠 변수 Xᵥ∈{1,…,k}, 엣지 가중치 변수 Yᵥᵢ,ᵥⱼ∈ℝ₊를 정의하고, 이들이 서로 독립이며 동일분포(Fₓ, F)를 따른다고 가정한다. 색칠 변수는 정점 특성을, 엣지 가중치는 전형적인 무작위 가중치 모델을 나타낸다. 비용 함수 ϕ는 일반적인 집합 함수로 설정되며, 특히 ϕ(G) = ϕ₁({Yₑ|e∈E}) + ϕ₂({Xᵥ|v∈V}) 형태로 분리 가능하도록 한다. 논문에서는 ϕ₂≡0, 즉 비용이 오직 엣지 가중치에만 의존하는 경우에 집중한다. 이때 ϕ₁은 연속적이고 비감소하는 함수이며, 서브모듈러 형태(예: 비감소 볼록 함수의 합)도 포함한다. 핵심 문제는 “문제 1”으로, n→∞일 때 E