분산 저차원 서브스페이스 분할

본 논문은 비전 분야에서 흔히 나타나는 서브스페이스 세그멘테이션 문제를 Low‑Rank Representation(LRR)이라는 볼록 최적화 모델로 정의하고, 이 모델을 대규모 데이터에 적용하기 위한 새로운 분산 알고리즘을 제안한다. 서브스페이스 세그멘테이션은 여러 저차원 서브스페이스에 속하는 데이터 포인트들을 정확히 구분하는 작업으로, 얼굴 조명 변화, 물체의 강체 움직임, 손글씨 등 다양한 현상을 모델링한다. 기존 LRR은 핵심 제약인 M = MZ + S (입력 행렬 = 사전·계수·Z + 희소 잡음 S)를 만족시키면서 핵심 목표인 핵노름 ‖Z‖_* 와 열‑ℓ₂,₁ 정규화 ‖S‖₂,₁ 를 최소화한다. 이 접근법은 행 공간을 정확히 복구하면 열들을 서브스페이스별로 구분할 수 있다는 강력한 이론적 보장을 제공한다. 그러나 LRR을 풀기 위해서는 매 반복마다 트렁케이티드 SVD를 수행해야 하며, 이는 O(mn k) 의 연산 복잡도를 초래한다. 데이터 규모가 수십만~수백만 차원에 달하는 현대 비전 데이터에서는 실용적이지 않다. 이에 저자들은 Divide‑Factor‑Combine(DFC) 프레임워크를 LRR에 맞게 변형한 DFC‑LRR 알고리즘을 고안한다. 알고리즘은 다음 세 단계로 구성된다. 1) **Divide(D) 단계**: 입력 행렬 M의 열을 무작위로 t개의 서브행렬 C_i 로 나눈다. 각 서브행렬은 l = n/t 개의 열을 포함한다. 2) **Factor(F) 단계**: 각 C_i 에 대해 동일한 사전 행렬 M을 사용해 독립적인 LRR 서브문제 min_{Z_i,S_i} ‖Z_i‖_* + λ‖S_i‖₂,₁ s.t. C_i = MZ_i + S_i 를 병렬로 해결한다. 기존 LRR 솔버(예: Inexact ALM)를 그대로 적용하면, Z_i 를 저‑랭크 형태(예: U_i Σ_i V_i^T) 로 반환할 수 있다. 3) **Combine(C) 단계**: 모든 ˆZ_i 를 가로로 연결한 뒤, 첫 번째 블록 ˆZ₁ 의 열 공간에 투영한다. 즉, ˆZ_proj = COLPROJ(