힐베르트 변환 쌍 웨이브렛 기반 및 가보르 유사 변환

본 논문은 힐베르트 변환(Hilbert Transform, HT)과 웨이브렛 이론을 결합해 새로운 복소 웨이브렛 프레임워크를 구축한다. 첫 번째 장에서는 기존 듀얼 트리 복소 웨이브렛(DT‑CWT)의 배경을 소개하고, HT가 웨이브렛의 스케일·이동 연산과 교환한다는 수학적 근거를 제시한다. 그러나 HT는 비국소 연산으로, 컴팩트하게 지원되는 스케일링 함수의 HT는 무한 지원을 갖고 1/|x| 꼬리를 가지므로 직접적인 다중해상도 분석에 적용하기 어렵다. 이를 해결하기 위해 저자들은 B‑스플라인 분해 정리(B‑spline factorization theorem)를 활용한다. B‑스플라인 β₍α,τ₎(x)는 차수 α와 이동 τ에 따라 주파수 영역에서 간단한 형태를 가지며, 정수 차수에서는 유한 지원, 비정수 차수에서는 1/|x|^{α+2} 정도의 빠른 감쇠를 보인다. 특히, B‑스플라인은 (C1) 안정적인 Riesz 기저, (C2) 정제 필터 h₍α,τ₎