Monte Carlo 검정의 검정력 정확히 구하는 알고리즘

본 논문은 부트스트랩, 퍼뮤테이션 등 Monte Carlo 기반 검정에서 검정력 β=F(α) 를 정확히 추정하고, 사용자가 지정한 신뢰구간 길이 Δ와 신뢰수준 1‑γ 를 보장하는 알고리즘을 개발한다. 기존 연구는 고정된 계산량 안에서 가능한 한 정확한 추정치를 얻는 데 초점을 맞추었으며, 추정값의 편향이나 오차에 대한 확정적인 보장은 제공하지 못했다. 저자들은 이러한 한계를 극복하기 위해, p‑값을 직접 샘플링할 수 없을 때 대신 p‑값을 생성하는 “스트림”이라는 개념을 도입한다. 각 스트림 i는 독립적인 Bernoulli 시퀀스 X_{ij} 로 구성되며, 이 시퀀스는 실제 p‑값 p_i 가 α 이하인지 여부를 판단하는 데 사용된다. 알고리즘은 Gandy와 Rubin‑Delanchy(2013)에서 제시된 순차 검정 절차를 기반으로 한다. 두 개의 결정 경계 U_t(상한)와 L_t(하한)를 정의하고, 부분합 S_t=∑_{j=1}^t X_{ij} 가 어느 경계에 먼저 도달하느냐에 따라 p_i ≤ α 혹은 p_i > α 로 판정한다. 경계는 ε‑오차를 제어하도록 재귀적으로 설계되며, 각 스트림에 대해 잘못된 판정 확률이 최대 ε 로 제한된다. 제안된 기본 알고리즘(Algorithm 1)은 N 개의 스트림을 병렬로 실행한다. 매 시점 t마다 아직 해결되지 않은 스트림 집합 U_t, 양성 결과 수 R_t, 음성 결과 수 A_t 를 업데이트하고, 현재까지 관측된 결과와 남은 미해결 스트림 수 |U_t| 를 이용해 보수적인 신뢰구간 I(R_t, A_t, |U_t|; γ) 를 계산한다. 이 구간은 모든 가능한 미해결 스트림 결과를 고려한 최악의 경우를 포함하도록 설계돼, β 가 구간에 포함될 확률이 최소 1‑γ 가 된다. 구간 길이가 사용자가 지정한 Δ 이하가 되면 알고리즘이 종료된다. 알고리즘의 기대 실행 시간에 대한 이론적 분석이 핵심이다. 일반적인 경우 각 스트림의 정지 시간 τ_i 가 무한 기대값을 가질 수 있지만, 충분히 큰 N 을 선택하고 일부 스트림만 완전히 해결하도록 설계하면 전체 기대 비용 E