연산 반군, 모츠킨 경로, 그리고 루트 트리

이 논문은 재귀적 구조를 가진 조합론적 객체(루트 트리, 모츠킨 경로)와 연산자가 정의된 대수적 구조(연산 반군, 연산 대수) 사이의 깊은 연관성을 체계적으로 연구한다. 1장 서론에서는 연산 대수의 예시(미분대수, 차분대수, 로타-박스터 대수 등)와 조합론적 객체의 응용(콘네스-크라이머의 재규모화 이론 등)을 소개하며, 두 분야를 연산 반군의 개념으로 통합하고자 하는 동기를 제시한다. 2장에서는 모츠킨 경로를 일반화하여 (X, Ω)-장식된 모츠킨 경로 P(X, Ω)를 정의한다. 여기서 X는 수평선 단계의 장식, Ω는 상승/하강 단계의 쌍을 장식하는 집합이다. 이 집합에 연결 곱(◦)과 Ω-색인된 상승 연산자(/ω \ω)를 부여하여 Ω-연산 모노이드를 만든다. 핵심 결과인 정리 2.1은 P(X, Ω)가 X 위의 자유 Ω-연산 모노이드이며, 그 부분 구조인 피크-프리 모츠킨 경로 L(X, Ω)는 자유 Ω-연산 반군, Ω-장식 다이크 경로 D(Ω)는 공집합 위의 자유 Ω-연산 모노이드임을 증명한다. 증명은 경로의 높이에 따른 귀납법과 자유 모노이드의 보편적 성질을 활용한다. 3장에서는 모츠킨 경로를 '모츠킨 단어'라는 문자열 표현으로 변환하고, 이를 재귀적으로 정의된 '브래킷 단어'와 연결한다. 정리 3.4는 특정 조건을 만족하는 브래킷 단어의 집합이 모츠킨 단어의 집합과 일대일 대응됨을 보여주며, 이를 통해 브래킷 단어를 이용한 자유 연산 반군/모노이드의 구성을 유도한다(딥-코롤리 3.6). 4장에서는 꼭짓점-장식된 평면 루트 숲의 집합에 연산 반군 구조를 정의한다. 여기서 연산자는 한 숲을 새로운 루트의 자식으로 '접목'하는 작업에 해당한다. 정리 4.2는 이 연산 반군이 피크-프리 모츠킨 경로로 구성된 자유 연산 반군과 동형임을 보여주어, 루트 트리가 자유 연산 반군의 또 다른 구체적 모델임을 확립한다. 5장에서는 지금까지 소개된 다양한 조합론적 객체들 사이의 관계를 종합한다. 정리 5.1은 브래킷 단어, 모츠킨 경로, 꼭짓점-장식 숲, 각도-장식 숲 사이에 연산 반군 구조를 보존하는 일련의 자연스러운 전단사 함수와 포함 관계가 존재함을 보여준다. 이들은 모두 본질적으로 동일한 자유 객체의 다른 표현이다. 6장에서는 앞서 확립된 연결 관계를 활용한다. 기존 연구