아핀 B형 아트인 군의 K pi 1 문제와 공동동류 계산

이 논문은 두 가지 주요 목표를 가지고 있다. 첫 번째는 아핀 Coxeter 군 \(\widetilde{B}_n\) 에 대응하는 복합 배열의 여집합이 K(π,1) 공간임을 증명하는 것이며, 두 번째는 그에 대응하는 아트인 군 \(G_{\widetilde{B}_n}\) 의 공동동류를 두 매개변수 \(q\)와 \(t\) 에 대한 로컬 시스템으로 계산하는 것이다. 1. **배열과 K(π,1) 문제** - 실 Coxeter 군 \(W\) 와 그 거울 배열 \(A_R\) 을 복소화하여 배열 \(A\) 를 만든다. - Deligne의 정리(정리 1.1)에 따르면, 실 배열이 단순(simple)하면 복소 여집합 \(Y(A)\) 는 K(π,1) 공간이다. - 아핀 유형 \(\widetilde{B}_n\) 의 경우, 배열 \(A(\widetilde{B}_n)\) 은 무한히 많은 평면 \(H_k(a),L_{\pm ij}(a)\) 으로 구성된다. - 격자 \(\Lambda\cong\mathbb{Z}^n\) 에 대한 평행 이동을 지수 사상 \(\exp(2\pi i x)\) 으로 나눠 \(Y/\Lambda\) 를 얻고, 이를 다시 변환 함수 \(g(y)=1+y_1-y\) 를 적용하면 배열 \(A\) (실 배열 \(D_{n+1}\) 와 \(H_1\) 의 합)와 동형임을 보인다. - Lemma 3.1에서 \(A\) 가 단순함을 증명하고, 따라서 \(Y(\widetilde{B}_n)\) 와 궤도공간 \(X(\widetilde{B}_n)=Y(\widetilde{B}_n)/W\) 는 모두 K(π,1) 공간이 된다. 이는 아핀 아트인 군 \(G_{\widetilde{B}_n}\) 이 \(X(\widetilde{B}_n)\) 의 기본군이라는 사실과 결합한다. 2. **두 매개변수 로컬 시스템과 공동동류** - 표준 생성자 \(g_1,\dots,g_n\) 는 \((-q)\) 곱, 마지막 생성자 \(g_{n+1}\) 는 \((-t)\) 곱으로 작용하는 표현 \(\eta_{q,t}:G_{\widetilde{B}_n}\to\mathbb{Q}