고무프츠 곡선으로 수렴하는 이진 트리 성장 마코프 과정

본 논문은 세포 분열과 텔로미어 단축 현상을 수학적으로 모델링하기 위해, 루트가 하나인 완전 이진 트리를 기반으로 하는 연속시간 마코프 성장 과정을 정의한다. 초기 상태는 루트 하나뿐이며, 깊이 k에 위치한 활성 노드(자식이 없는 노드)는 독립적으로 비율 β (n−k)/n의 지수분포 대기시간 후 두 자식을 생성한다. 여기서 n은 초기 텔로미어 길이와 최소 텔로미어 길이 차이를 단위 길이 δ로 나눈 정수이며, 이는 세포가 최대 n번 분열할 수 있음을 의미한다. 따라서 트리의 최대 깊이는 n이며, 이때 트리는 흡수 상태에 도달한다. 모델의 상태공간은 (x₀,…,xₙ)∈ℕⁿ⁺¹ 로, 각 x_k(t)는 k번째 세대에서 아직 분열하지 않은(활성) 노드 수를 나타낸다. 전이율 λ_k=β (n−k)/n 로 정의된 생성자 Q는 하삼각 행렬 형태이며, 전이 구조는 Aldous‑Shields 모델과 유사하지만, 그들의 지수 감소 대신 선형 감소를 채택한다. 이로 인해 기대값 벡터 x(t)는 선형 ODE ẋ(t)=M x(t) 로 기술되며, M은 대각선에 −λ_k, 바로 아래 대각선에 2λ_{k−1}을 갖는 저차원 삼각 행렬이다. 첫 번째 주요 결과는 활성 노드 총수 Z_n(t)=∑_{k=0}^n X(k,t) 를 적절히 정규화하고 시간 스케일을 조정하면 고무프츠 곡선으로 수렴한다는 것이다. 구체적으로, T_n=β⁻¹ n ln(n/ln 4)+(ln 2)/(2β) 로 정의하고, τ∈ℝ에 대해 X_n(τ)=2^{-n} Z_n(T_n+nτ) 로 두면, n→∞ 일 때 X_n(τ)→G(τ)=exp