소수 집합에서의 KK 이론 국소화와 공국소화

논문은 먼저 일반적인 가환환 R과 R‑선형 삼각범주 T를 설정한다. S⊂R을 곱셈적으로 닫힌 부분집합이라 하면, R‑모듈 S⁻¹R은 평탄하므로 T의 사상공간을 T(A,B)⊗_R S⁻¹R으로 바꾸어 새로운 삼각범주 S⁻¹T를 정의한다. 이 과정에서 사상 f가 S‑동등사상(양쪽에 s∈S가 작용해 항등을 얻는 사상)이라면 S⁻¹T에서 가역이 되고, 반대로 가역인 사상은 S‑동등사상임을 보인다. 이를 통해 S‑국소화가 S‑유한 객체들의 두꺼운 부분범주 N_S에 대한 카테고리 이론적 국소화와 동등함을 증명한다. S‑유한 객체는 어떤 s∈S에 대해 s·id_A=0인 객체이며, 이러한 객체들의 집합 N_S는 삼각구조에 대해 두껍다. 따라서 S⁻¹T는 T/N_S와 동형이며, 이는 S‑동등사상들을 강제로 가역화하는 과정과 일치한다. 다음으로 저자들은 계수 차이 S⁻¹R/R을 도입한다. 이는 R‑모듈에 대해 평탄한 해석을 제공하며, 이를 이용해 정확한 장기 전이열 …→Tⁿ(A,B)→S⁻¹Tⁿ(A,B)→Tⁿ(A,B;S⁻¹R/R)→… 을 구축한다. 여기서 Tⁿ(A,B;S⁻¹R/R)은 S⁻¹R/R‑계수를 갖는 이론으로, 사상공간이 T(A,B)⊗_R S⁻¹R/R와 동형이다. 이 전이열은 원래 이론을 S‑국소화된 이론과 torsion‑이론으로 분해한다는 점에서 핵심적인 도구가 된다. 특히 R=ℤ, S=ℤ\{0\}인 경우 S⁻¹R=ℚ가 되며, 전이열은 …→KK^G_n(A,B)→KK^G_n(A,B;ℚ)→KK^G_n(A,B;ℚ/ℤ)→… 와 같이 구체화된다. 여기서 KK^G_n(A,B;ℚ)=KK^G_n(A,B)⊗ℚ는 유리화된 KK‑이론이며, ℚ/ℤ‑계수 부분은 torsion 정보를 담는다. 논문은 이러한 일반 이론을 여러 예제로 적용한다. 첫 번째 예는 “유리화된 K‑이론”으로, G가 자명하고 A=ℂ일 때 K_*(A;ℚ)=K_*(A)⊗ℚ가 된다. 두 번째 예는 Baumes‑Connes 어셈블리 사상에 ℚ 계수를 넣은 형태로, 전이열을 통해 어셈블리 사상의 유리화와 torsion 부분을 분리한다. 세 번째 예는 실·복소 KK‑이론 사이의 관계를 다룬다. 실 C*‑대수 A, B에 대해 복소화 A_ℂ=A⊗ℝℂ, B_ℂ를 취하면 KK^G_n(A_ℂ,B_ℂ;ℤ