일반 출생‑사망 과정의 효율적 최대우도 추정법

본 논문은 연속시간 마코프 체인인 Birth‑Death Process(BDP)를 일반화하여, 임의의 상태 의존 출생률 λₖ와 사망률 μₖ를 갖는 모델에 대한 최대우도 추정(MLE) 방법을 체계적으로 제시한다. 연구는 크게 네 부분으로 구성된다. 첫 번째 부분에서는 일반 BDP의 수학적 정의와 전이 확률 Pᵢⱼ(τ)의 미분 방정식(1)을 제시하고, 라플라스 변환을 적용해 전이 확률의 라플라스 변환 fᵢⱼ(s) 를 연속분수 형태로 유도한다. 특히, 상태 0에서 시작하는 경우 f₀₀(s)는 무한 연속분수(4)로 표현되며, aⱼ와 bⱼ라는 계수를 통해 일반적인 형태 f₀₀(s)=a₁/b₁ + a₂/b₂ + … 로 정리된다. 이 연속분수는 수렴 속도가 빠르고, 절단 깊이에 따른 오류 한계가 알려져 있어 수치적으로 안정적인 전이 확률 계산이 가능하다. 또한, fᵢⱼ(s) 를 일반 i, j에 대해 (8)식으로 확장함으로써 모든 전이 확률의 라플라스 변환을 얻는다. 두 번째 부분에서는 관측이 이산 시점에서만 이루어지는 상황을 고려한다. 관측 데이터 Y=(X(0)=a, X(t)=b)만 주어졌을 때, 완전 데이터 로그우도 ` (θ) (10)는 각 상태 k에서의 총 출생 횟수 Uₖ, 총 사망 횟수 Dₖ, 그리고 체류 시간 Tₖ에 의존한다. 그러나 Uₖ, Dₖ, Tₖ는 관측되지 않으므로 EM 알고리즘을 도입한다. EM의 E‑step에서는 Q(θ|θ^{(m)})=E