비유리 다면체와 비유리 표면의 새로운 구성

이 논문은 1960년대 마이카 퍼렐스가 처음 제시한 “비유리 다면체” 개념을 현대적인 관점에서 재조명하고, 보다 직관적인 구성 방법을 제공한다. 퍼렐스는 원래 “게일 도표(Gale diagram)”라는 이중성 이론을 이용해 고차원 다면체의 비유리성을 증명했지만, 그 방법은 시각화가 어려워 일반 독자에게는 접근성이 낮았다. 저자는 이러한 한계를 극복하고자, 평면에 존재하는 비유리 점배치를 출발점으로 삼아 두 가지 확장 기법—로렌스 확장과 브레흐 확장—을 차례로 적용한다. 첫 번째 단계는 비유리 평면 구성을 정의하고, 그 존재를 구체적인 예시를 통해 증명한다. 여기서는 정오각형을 연장한 11점 구성 C₁₁을 사용한다. C₁₁은 다섯 개의 꼭짓점, 다섯 개의 대각선 교점, 그리고 중심점으로 이루어지며, 이들 사이에 10개의 직선이 다중 점을 포함한다. 동차좌표와 투사 변환을 이용해 이 구성을 3차원 벡터 형태로 옮긴 뒤, 선형 독립성 조건을 전개하면 매개변수 a가 a²‑4a‑1=0을 만족해야 함을 알 수 있다. 해는 a=2±√5이며, 이는 √5가 포함된 확장 유리수체 Q