연속과 국소 연속 군 코호몰로지를 연결하는 스펙트럴 시퀀스

논문은 위상군 \(G\)와 그 연속 \(G\)-모듈 \(V\)에 대해 두 종류의 군 코호몰로지를 비교한다. 첫 번째는 전통적인 연속 군 코호몰로지 \(H_c^*(G;V)\)로, 모든 차원에서 코체인이 연속함을 요구한다. 두 번째는 ‘국소 연속’ 코호몰로지 \(H_{cg}^*(G;V)\)로, 코체인이 대각선 근방에서만 연속하면 충분하다는 완화된 조건을 갖는다. 이 두 코호몰로지는 일반적으로 일치하지 않으며, 특히 컴팩트 하우스도르프 군 \(G=\mathbb{R}/\mathbb{Z}\)와 정수 계수의 경우 차이를 보인다. 이를 체계적으로 연결하기 위해 저자는 변환군 \((G,X)\)와 \(G\)-불변 열린 덮개 \(\mathcal U\)를 도입한다. 각 \(\mathcal U\)에 대해 코체인 복합 \(A_{cr}^{p,q}(X,\mathcal U;V)\)를 정의하고, 가로와 세로 미분을 각각 표준 코체인 경계 연산으로 설정한다. 이 복합은 첫 번째 사분면에 위치하며, 행과 열을 각각 연속 코체인 복합 \(C_c^*(X;V)\)와 국소 연속 코체인 복합 \(C_{cr}^*(X,\mathcal U;V)\)로 증강한다. 행에 대해서는 명시적인 수축 사상 \(h^{p,q}\)를 정의해 행 복합이 정확함을 보인다. 따라서 행 코호몰로지는 \(H_{cr}^q(X,\mathcal U;V)\)와 동등하고, 이는 스펙트럴 시퀀스의 \(E_1\) 페이지가 된다. 열에 대해서는 일반적으로 정확하지 않지만, \(G\)가 수축가능(예: 유클리드 공간, 단순 연결 리 군 등)하면 열 복합도 정확해진다. 이때 열 코호몰로지는 사라져 \(E_2^{p,q}=0\) for \(p>0\)가 되며, 전체 코호몰로지는 행 코호몰로지와 동일해진다. 결과적으로 포함 사상 \