집합값 프레임워크를 이용한 탄생‑성장 과정의 수학적 모델링

논문은 먼저 집합값 확률 과정(RaCS)의 기본 개념과 Minkowski 합, Aumann 적분에 대한 정의를 정리한다. X를 반사 Banach 공간으로 두고, F(X)·F_bc(X) 등 닫힌, 유계, 볼록 집합들의 체계를 소개한다. 집합값 함수의 측정 가능성은 Proposition 1.1.1을 통해 거리 함수 d(x, X(ω))가 측정 가능함과 동치임을 보이며, 이를 기반으로 Aumann 적분을 정의한다. 그 다음, 탄생‑성장 모델의 핵심 식 (1.2)를 제시한다. 여기서 Bₜ는 핵 생성 과정을, Gₜ는 성장 과정을 나타내며, 두 과정 모두 닫힌 집합값이며 적절한 적응성·증가성·볼록성·유계성을 만족한다. 특히 Gₜ는 0을 포함하고, 전체 공간에 대해 동일한 Minkowski 가산을 제공하므로 비국소적 성장 모델을 구현한다. 성장 과정의 측정 가능성은 예측가능 σ‑대수 𝒫에 대해 (A‑6)으로 가정한다. 섹션 1.3에서는 성장 과정 Gₜ의 적분 ∫ₐᵇ G(ω,τ)dτ가 비어 있지 않은 볼록 RaCS임을 정리(정리 1.3.2)하고, 이를 위해 지원 함수 s(x*,·)의 측정 가능성을 Lemma 1.3.4에서 증명한다. 섹션 1.4에서는 실제 모델 구축을 위해 시간 구간을 파티션 Π로 나누고, 각 구간에서의 하한 집합 s_Π와 상한 집합 S_Π를 정의한다. Proposition 1.4.1은 두 집합이 모두 RaCS임을 보이며, Lemma 1.4.2는 시간 구간이 확대될수록 적분 집합이 포함 관계로 증가함을 보여준다. 이를 토대로 Proposition 1.4.3은 s_Π ⊆ S_Π, Proposition 1.4.4는 파티션 정제가 이루어질 때 s_Π는 증가하고 S_Π는 감소한다는 단조성을 제시한다. 마지막으로 Proposition 1.4.5와 1.4.6은 파티션의 최대 구간 길이가 0으로 수렴할 때 s_Π와 S_Π가 Hausdorff 거리에서 서로 수렴함을 증명한다. 따라서 Θₜ는 이러한 수열의 극한으로 정의될 수 있으며, 이는 (1.2)의 의미론적 해석이 된다. Corollary 1.4.7은 이 극한이 파티션 선택에 독립적임을 강조한다. 전체적으로 논문은 집합값 확률 과정과 기하학적 연산을 이용해 탄생‑성장 과정을 엄밀히 정의하고, 존재와 유일성을 보장한다. 이는 기존의 미분가능한 전면을 가정하는 모델과 달리 경계 정규성 없이도 비등방성·비국소적 성장 메커니즘을 포괄할 수 있음을 보여준다. 또한, 제시된 프레임워크는 수치 시뮬레이션이나 통계적 분석에 적용하기 용이한 구조적 장점을 제공한다.