그래프 병목 정체성과 전이 측도를 이용한 거리 정의

행렬 \(S=(s_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times n}\)이 \(n\)개의 정점을 갖는 방향 그래프 \(G\)에 대해 전이 측도(transitional measure)를 결정한다는 것은 모든 \(i,j,k\in\{1,\dots ,n\}\)에 대해 전이 부등식 \(s_{ij}s_{jk}\le s_{ik}s_{jj}\)가 성립하고, 이 부등식이 등호가 되는 경우(이를 그래프 병목 정체성(graph bottleneck identity)이라 함)는 정확히 모든 \(i\)에서 \(k\)로 가는 경로가 \(j\)를 포함한다는 조건과 동치임을 의미한다. 우리는 양의 전이 측도는 로그 변환을 통해 거리를 생성한다는 것을 보인다. 더욱이, 이렇게 얻어진 거리 \(d(\cdot ,\cdot )\)는 그래프‑지오데식(graph‑geodetic) 특성을 갖는데, 즉 \(d(i,j)+d(j,k)=d(i,k)\)가 성립하는 경우와 오직 모든 \(i\)와 \(k\)를 연결하는 경로가 \(j\)를 포함할 때만 일치한다. 본 논문에서는 방향 그래프에 대해 전이 측도를 결정하는 다섯 종류의 행렬, 즉 경로 가중치 행렬, 연결 신뢰도 행렬, 경로 가중치 행렬, 그리고 내부 포레스트와 외부 포레스트의 가중치 행렬을 고려한다. 제시된 결과는 무방향 그래프에 대해서도 대응되는 형태로 성립한다. 이전 연구