평면 기하학의 두 기이한 투영 구성

** 본 논문은 ‘그레시안 기하학’이라 명명한 평면 유클리드 공간 ℝ²에서 네 가지 주요 명제와 두 개의 보조 정리를 제시한다. **1. 제1명제** 두 평행 직선 G_S와 G_T, 그리고 이들을 각각 교차하는 직선 L(원점 (0,0)을 지나지 않음)을 가정한다. L과 G_S, G_T의 교점을 각각 S(x_S, y_S), T(x_T, y_T)라 하며, 원점 O와 S, T를 연결한 직선들을 Z_S, Z_T라 정의한다. - 경우(A): G_S와 G_T가 x‑축에 평행하지 않을 때, G_S와 G_T가 x‑축과 만나는 점을 a_S, a_T라 하면, L 위에 존재하는 유일한 점 P_hor = (x_hor, y_hor) 가 (x_hor−a_S, y_hor)∈Z_T와 (x_hor−a_T, y_hor)∈Z_S를 동시에 만족한다. - 경우(B): G_S와 G_T가 y‑축에 평행하지 않을 때, G_S와 G_T가 y‑축과 만나는 점을 b_S, b_T라 하면, L 위에 존재하는 유일한 점 P_ver = (x_ver, y_ver) 가 (x_ver, y_ver−b_S)∈Z_T와 (x_ver, y_ver−b_T)∈Z_S를 동시에 만족한다. 증명은 L을 파라미터화 (x_S, y_S) + τ·(w₁, w₂) 형태로 두고, 위 조건을 선형 방정식 네 개로 전개한다. (1)–(4) 혹은 (f1)–(f4) 시스템을 풀어 τ, α, β(또는 eτ, eα, eβ)를 구하면 두 조건이 동일한 τ를 요구함을 확인한다. 여기서 핵심은 w₁·y_T−w₂·x_T = w₁·y_S−w₂·x_S 라는 관계와 y_S·x_T−x_S·y_T + a_S·y_T = y_S·a_T 를 이용해 두 식이 동일한 해를 갖는다는 점이다. 따라서 P_hor와 P_ver는 각각 존재하고 유일함이 증명된다. **2. 제2명제** 제1명제의 상황에 ‘Axis’라는 추가 직선을 도입하고, 원점 O를 Axis 위에 놓는다(단, O∉L). Axis와 G_S, G_T의 교점을 각각 S_Axis, T_Axis라 하면, 위와 동일한 방식으로 L 위에 존재하는 유일한 점 P를 정의한다. 경우에 따라 P는 Axis와 평행한 직선 Axis_P와 교차하고, 그 교점이 Z_S, Z_T와 이루는 거리 관계를 만족한다. 논문은 경우(1)~(3)으로 나누어 설명하고, 특히 S_Axis = S 혹은 T_Axis = T인 경우는 자명하게 P = S_Axis 혹은 T_Axis가 됨을 보인다. **3. 제3명제** 두 평행 직선 G와 P(‘projection line’)를 잡고, G가 원점 (0,0)을 지나지 않음에 주의한다. 고정된 실수 ε>0을 두고, G 위의 임의 점 (b_x, b_y) (b_y≠0)에서 좌우로 ε만큼 이동한 점 S = (b_x−ε, b_y), T = (b_x+ε, b_y)를 만든다. S와 T를 원점과 연결한 직선이 각각 P와 교차하도록 ‘투영’한다(즉, O, S, S'가 일직선, O, T, T'가 일직선이며 S', T'∈P). 이렇게 얻은 네 점 S, T, −S, −T는 평행사변형을 이룬다. 그 대각선 중 T와 −S를 연결한 직선이 x‑축과 만나는 점을 ν라 하면, ν는 선택한 (b_x, b_y)와 무관하고 다음과 같이 단순히 절편만으로 결정된다. - G와 P가 수직인 경우: ν = p·ε / r (p, r은 각각 P와 G의 x‑절편) - 비수직인 경우: ν = b_P·ε / b_G (b_P, b_G는 각각 P와 G의 y‑절편) 증명은 좌표식을 직접 대입해 계산하고, 경우에 따라 직선이 수직이 될 때도 동일한 비율이 나오도록 정리한다. **4. 제4명제** 제3명제를 더욱 일반화한다. 임의의 직선 Axis와 원점 O∈Axis\G, ε≥0를 잡고, G 위의 점 (b_x, b_y)에서 Axis와 평행한 직선