실험 설계 문제를 위한 비선형 전처리기

본 논문은 실험 설계 최적화 문제에서 SQP(Sequential Quadratic Programming) 알고리즘이 보이는 느린 수렴과 불안정성을 절대 조건수(absolute condition number)의 악화와 연결짓고, 이를 개선하기 위한 비선형 전처리 기법을 제안한다. 1. **문제 정의와 기존 접근법** - 파라미터 p를 추정하기 위한 가중 최소제곱 회귀식(1)을 기반으로, 피셔 정보 행렬 J의 트레이스 역(분산‑공분산 행렬의 트레이스)을 최소화하는 A‑criterion을 목표로 한다. - 제어 변수 q와 가중치 벡터 w를 동시에 최적화하는 연속형 제약 최적화 형태(식 2)를 구성하고, 이를 SQP에 그대로 적용한다. 그러나 대규모 문제에서는 반복 횟수가 급증하거나 수렴이 실패한다는 현상이 관찰된다. 2. **조건수와 수렴 저하의 관계** - 저자들은 이 현상이 ‘절대 조건수’가 크게 증가하기 때문이라고 가정한다. 절대 조건수는 해의 존재를 보장하는 함수 f′(w)=0의 민감도를 측정한다. - 이를 분석하기 위해 외부 제어 q를 제거하고, 초기 설계 품질을 α·I 형태의 분산‑공분산 행렬로 모델링한다. 두 개의 추가 관측을 선택하는 단순 모델 문제(식 3)를 정의하고, v₁·v₂=0, ‖v₁‖=‖v₂‖=1인 경우 최적 해가 w₁=w₂=½임을 증명한다. 3. **모델 문제의 절대 조건수 분석** - 목적 함수 f(w)=Tr