그래프 정규성 및 제거 보조정리의 새로운 경계

본 논문은 그래프 정규성 정리와 그 변형들의 복잡도 한계를 다각도로 탐구한다. 서론에서는 Szemerédi 정규성 정리의 역사적 배경과 응용을 소개하고, 특히 정규성 정리에서 허용되는 불규칙 쌍의 비율 η 에 대한 의존성이 아직 정확히 밝혀지지 않았음을 지적한다. 기존 연구(Gowers 등)는 η 가 작아질수록 필요한 파트 수 M(ε,δ,η) 가 tower‑type 함수임을 보였지만, 하한은 선형 수준에 머물렀다. 저자들은 이 문제를 해결하기 위해, 모든 균등 k‑분할이 최소 c·k²/ log* k개의 비정규 쌍을 포함하도록 하는 그래프를 구성한다. 이 그래프는 여러 단계의 파티션 P₁,…,P_s 과 각 단계마다 무작위 그래프 G_i 를 삽입하는 방식으로 만든다. 각 G_i 는 확률 p_i 로 간선이 선택되며, 인접한 파트 사이에 무작위로 세분화된 서브파트를 만들어 새로운 간선을 추가한다. 이러한 과정은 각 단계에서 정규성 파라미터를 정밀히 조절하고, 전체 그래프가 최종적으로 요구되는 하한을 만족하도록 만든다. 결과적으로, M(ε,δ,η) 는 η⁻¹에 대해 tower‑type 함수임을 보이며, 이는 기존 상한과 일치한다. 다음으로 강한 정규성 보조정리(Alon‑Fischer‑Krivelevich‑Szegedy)를 다룬다. 강한 정규성 보조정리는 기본 파티션 A와 그 정밀 파티션 B를 동시에 만족시키며, B가 A에 ε‑close 하고, B 자체가 f(|A|)‑regular임을 요구한다. 기존 증명은 Szemerédi 정규성 정리를 반복 적용해 wowzer‑type 상한을 얻었지만, 이 상한이 최적인지 여부는 미확인 상태였다. 저자들은 앞서 만든 그래프 구조를 이용해, 임의의 감소 함수 f와 상수 ε에 대해 |A|,|B| 가 최소 W (와우저 함수) 크기 이상이어야 함을 증명한다. 구체적으로, W₁=1 이고 W_{ℓ+1}=T(2^{-70ε⁵}/f(W_ℓ)) (여기서 T 는 tower 함수) 로 정의한 뒤, t=2^{-20ε^{-1}} 에 대해 W=W_{t-1} 을 얻는다. 이때, 그래프 G 가 존재하여 q(B)≤q(A)+ε 와 B가 f(|A|)‑regular을 만족하려면 |A|,|B|≥W 이어야 한다. 이는 강한 정규성 보조정리의 상한이 실제로 wowzer‑type임을 보여주는 하한이다. 세 번째 섹션에서는 유도 그래프 제거 보조정리(Induced Graph Removal Lemma)를 새롭게 증명한다. 기존 증명은 강한 정규성 보조정리를 사용해 wowzer‑type 복잡도를 초래했으며, 이는 실제 응용에서 비현실적이었다. 저자들은 강한 정규성 보조정리를 우회하고, 대신 약한 정규성 보조정리와 정규 근사 정리를 결합한다. 핵심 아이디어는 불규칙 쌍을 직접 제어하기보다, 그래프를 적절히 정제하고, 파트 간 평균 제곱 밀도 q(P) 를 이용해 ε‑정밀도에 대한 δ 값을 tower‑type 함수로 제한하는 것이다. 구체적으로, 파티션 A와 B를 선택하고 q(B)≤q(A)+ε 와 B가 ε/|A|‑regular을 만족하도록 하면, |A|,|B| 는 최소 W (와우저 함수) 크기 이상이어야 한다는 이전 결과를 이용한다. 그러나 여기서는 ε 을 충분히 작게 잡아 tower‑type 상한을 얻는다. 결과적으로, 유도 그래프 제거 보조정리의 δ⁻¹ 는 ε⁻¹ 에 대해 tower‑type 함수이며, 이는 기존 wowzer‑type 상한보다 현저히 개선된 것이다. 마지막으로 약한 정규성 보조정리와 정규 근사 정리의 파라미터 ε에 대한 하한을 다룬다. Lovász‑Szegedy와 Frieze‑Kannan이 제시한 약한 정규성 보조정리는 ε‑정밀도에 대해 2^{O(ε^{-2})} 개의 파트가 충분하다고 알려져 있다. 저자들은 반대로 2^{Ω(ε^{-2})} 개의 파트가 필요함을 증명한다. 이를 위해, 무작위 그래프와 위에서 사용한 다중 파티션 구조를 변형하여, 어떤 균등 파티션이든 ε‑근사성을 만족하려면 파트 수가 지수적으로 커야 함을 보인다. 이 결과는 약한 정규성 보조정리의 복잡도가 최적임을 확정하고, 관련 알고리즘의 한계를 명확히 제시한다. 전체적으로 논문은 정규성 정리 계열의 복잡도 구조를 완전하게 파악하고, 상한과 하한을 일치시켜 이론적 최적성을 입증한다. 특히, 불규칙 쌍 수에 대한 tower‑type 하한, 강한 정규성 보조정리의 wowzer‑type 하한, 유도 그래프 제거 보조정리의 tower‑type 상한, 그리고 약한 정규성 보조정리의 지수‑하한을 모두 제공함으로써, 정규성 정리와 그 변형들의 근본적인 한계를 명확히 규정한다.