직사각형 포장 하단좌측 배치 정리

본 논문은 2차원 직사각형 포장 문제(RP)를 다루며, n개의 직사각형을 주어진 용기(W × H) 안에 겹치지 않게 배치할 수 있는지 여부를 판단한다. 직사각형은 회전이 허용되며, 모든 치수는 실수값이다. 기존 연구는 크게 세 갈래로 나뉜다. 첫 번째는 정수 격자 가정 하에 모든 가능한 위치를 열거하는 전열 방식으로, 정확하지만 실수 파라미터에 적용하기 어렵다. 두 번째는 후보 위치를 제한하는 휴리스틱 방식으로, 연산량은 적지만 완전성을 보장하지 못한다. 특히, Bottom‑Left 휴리스틱이 모든 경우에 완전하지 않다는 반례가 알려져 있다. 논문은 이러한 배경에서 “하단‑좌측 배치 정리”(Bottom‑Left Placement Theorem)를 제시한다. 정리는 두 단계로 구성된다. 1. **하단‑좌측 안정성 보장(Lemma 1)** - 임의의 충돌 없는 배치를 동일한 회전 상태를 유지하면서 모든 사각형이 하단‑좌측으로 더 이상 이동할 수 없는 상태, 즉 하단‑좌측 안정성을 갖도록 변형할 수 있음을 보인다. - 이를 위해 겹침 면적을 합산한 연속 함수 O(X)를 정의하고, O(X)=0인 해집합 S₀를 고려한다. S₀는 비어 있지 않고 닫힌 유계 집합이다. - 목적 함수 L=Σ(x_i+y_i)를 S₀ 위에서 최소화하면, 최소점 X*에서는 어느 사각형도 왼쪽·아래로 이동하면 겹침이 발생하므로 하단‑좌측 안정성을 만족한다. 2. **역방향 제거와 삽입 순서 도출(Lemma 2, Theorem 1)** - Lemma 2는 어떤 배치에서도 위·오른쪽으로 자유롭게 움직일 수 있는 사각형이 반드시 존재함을 증명한다. 이는 사각형들의 오른쪽·위쪽 코너를 사전식 순서로 정렬하고, 가장 오른쪽·위쪽에 있는 사각형부터 역추적하면서 “위·오른쪽에 다른 사각형이 없는” 사각형을 찾는 과정이다. - 이 사각형을 제거하고 과정을 반복하면 전체 n개의 사각형을 역순으로 제거할 수 있다. 제거 순서를 뒤집으면 삽입 순서가 된다. - 삽입 순서에 따라 i번째 사각형을 배치하면, 이미 배치된 1…i‑1개의 사각형과 용기 경계가 만든 하단‑좌측 코너에 정확히 놓일 수 있다. 즉, 각 삽입 단계마다 “하단‑좌측 코너”라는 빈 공간이 존재하고, 그곳에 사각형을 놓으면 자동으로 하단‑좌측 안정성을 만족한다. Theorem 2는 Lemma 1과 Theorem 1을 결합해, “가능한 배치가 존재한다면 하단‑좌측 배치 동작만으로도 반드시 찾을 수 있다”는 결론을 도출한다. 이는 기존의 Bottom‑Left 휴리스틱이 불완전했던 점을 이론적으로 극복한 첫 사례이다. Theorem 3은 탐색 복잡도를 정량화한다. 가능한 하단‑좌측 배치 동작의 총 수는 n!·2ⁿ·θⁿ 이하이며, 이는 유한한 수이므로 알고리즘이 유한 단계 내에 종료함을 보장한다. 여기서 θ는 한 사각형이 가질 수 있는 하단‑좌측 코너 후보의 상한이다. 논문은 마지막으로 향후 연구 과제로 3차원 직육면체 포장 문제에 대한 하단‑좌측 배치 정리의 확장 가능성을 제시한다. 전체적으로 이 연구는 실수 파라미터를 갖는 일반적인 2차원 직사각형 포장 문제에 대해 완전한 배치 전략을 제공함으로써, 기존 휴리스틱의 한계를 이론적으로 해소하고, 효율적인 정확 알고리즘 및 고성능 휴리스틱 설계의 토대를 마련한다.