다중텐서 승격 정리와 그 응용

본 논문은 다중텐서와 함수 연산자 사이의 관계를 심도 있게 탐구하고, 이를 통해 고차 범주론에서 중요한 텐서곱 구조들을 새로운 관점에서 재해석한다. 1장에서는 다중텐서(E, u, σ)의 정의와 기본 예시를 소개한다. 여기서 다중텐서는 n‑ary 텐서곱 functor Eₙ와 단항 부분 E₁, 그리고 대체(substitution) 사상 σ로 구성되며, 단순히 모노이달(monad) 구조를 일반화한 것으로 볼 수 있다. 또한, 다중텐서가 분배가능(distributive)하면 G V 위에 모나드 ΓE를 구성할 수 있음을 설명한다. 2장에서는 핵심인 승격 정리(The Lifting Theorem)를 증명한다. 핵심 아이디어는 E의 단항 부분 E₁을 이용해 V^{E₁} 위에 새로운 함수 연산자(E′, σ′)를 만들고, 이 연산자의 카테고리 E′‑Cat이 원래의 E‑Cat과 동형이 되도록 하는 것이다. 이를 위해 f E₁이라는 “단항만 남기고 나머지는 공집합”인 하위다중텐서를 정의하고, 포함 사상 ψ: f E₁→E 로부터 모나드 사상 φ=Γψ 를 만든다. Lemma 6을 이용해 φ!⊣φ* 로부터 G(V^{E₁}) 위의 모나드 T를 얻고, T가 분배가능하고 경로‑유사(path‑like)이며 λ‑접근가능함을 보인다. 마지막으로