삼각형이 없는 그래프의 브룩스 정리와 색채 상한

본 논문은 삼각형이 없는 그래프 G의 색채 수 χ(G)에 대한 새로운 상한을 제시한다. 기존 연구에서는 girth > 4인 그래프에 대해 χ(G)=O(Δ/ log Δ)라는 비결정적 상한이 알려졌으며, Kim은 반확률적 방법을, Johansson은 이를 개선하여 삼각형이 없는 경우에도 동일한 형태의 상한을 얻었다. 그러나 이러한 방법들은 4‑사이클이 존재하면 d_t(u,c)와 s_t(u)의 집중도가 깨져 증명이 실패한다는 한계가 있었다. 논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 두 가지 핵심적인 알고리즘 수정과 정밀한 확률 분석을 수행한다. 첫 번째 수정은 “색상 삭제 기준”이다. 각 라운드가 끝난 뒤, d_{t+1}(u,c)가 평균값보다 2배 이상 큰 색을 팔레트에서 제거한다. 이를 통해 평균값을 중심으로 한 약한 불평등(식 (2))을 유지하면서도, 전체 색상 수는 크게 감소시키지 않는다. 두 번째 수정은 “독립적인 색 할당”이다. 기존의 “정점 깨어남” 방식 대신, 각 (u,c) 쌍에 독립적인 할당 확률을 부여함으로써 Azuma‑Hoeffding 불평등을 직접 적용할 수 있게 만든다. 이로써 각 라운드에서 s_t(u)와 d_t(u,c)의 편차를 O(√Δ) 이하로 제어한다. 알고리즘의 핵심 흐름은 다음과 같다. 초기에는 모든 정점이 색이 없는 상태이며, 팔레트 S_0(u)는 {1,…,Δ/k} 로 설정한다. 여기서 k는 상수이며, 최종적으로 k≈(1/67)·log Δ 로 선택한다. 매 라운드 t에서는 (i) 각 정점‑색 쌍 (u,c)에 대해 확률 1/(4d_t) 로 색을 할당하고, (ii) 인접 정점 간 충돌이 발생하면 해당 색을 제거한다. 이후 (iii) 평균값 기준으로 과도하게 큰 색을 팔레트에서 삭제하고, (iv) 남은 색 중 하나를 영구적으로 할당한다. 이 과정을 d_t/s_t < 1/2 가 될 때까지 반복한다. 재귀식 (3)에서 정의된 d_t와 s_t는 각각 d_{t+1}=d_t(1−(1/16)·e^{−½}s_t/d_t)와 s_{t+1}=s_t·e^{−½} 로 감소한다. 초기 비율 d_0/s_0 = k 이며, 위 식을 반복하면 d_t/s_t는 매 라운드마다 약 (1−1/16·e^{−½}) 만큼 감소한다. Lemma 2에 따르면, 16e^{½}·k 라운드 안에 d_t/s_t < 1/2 가 된다. 이때 s_t는 아직 Θ(Δ/k·e^{−8e^{½}k}) 정도로 충분히 크며, 특히 k ≤ (1/67)·log Δ 일 경우 s_t≫1 을 만족한다. 라운드 종료 후에는 Haxell의 매칭 정리