무한 생성 사영 모듈과 풀백 링의 새로운 구현

본 논문은 “무한 생성 사영 모듈”이라는 전통적으로 다루기 어려운 주제를, 풀백(pullback) 구조와 선형 디오판틴 부등식 시스템을 결합함으로써 새로운 시각에서 접근한다. 먼저, 저자들은 반국소(semilocal) 링 R에 대해 Jacobson 라디칼 J(R) 위의 잔여 구조가 사영 모듈을 완전히 결정한다는 Příhoda의 정리를 인용한다. 이를 통해 가산 생성 사영 오른쪽 모듈들의 동형 클래스 모노이드 V\*(R)·와 가산 생성 사영 왼쪽 모듈들의 모노이드 V\*(Rᵒ)·를 (ℕ₀∪{∞})ᵏ에 삽입할 수 있음을 보인다. 여기서 k는 R/J(R)의 단순 성분 수이며, 각 성분에 대응하는 단순 오른쪽(왼쪽) 모듈 V_i, W_i를 고정한다. 다음으로, 저자들은 “부등식에 의해 정의된 모노이드”라는 개념을 정밀히 정의한다. 정의 1.3에 따르면, M⊆(ℕ∗₀)ᵏ가 부등식 시스템 D·t∈m·ℕ∗₀, E₁·t≥E₂·t 로 정의될 때, 이를 “부등식 모노이드”라 부른다. 이때 D는 정수 행렬, m_i≥2인 정수, E₁, E₂는 정수 행렬이며, 부등식의 방향을 바꾸면 이중 모노이드 D(M)이 정의된다. 중요한 점은 D(M)도 일반적으로 다른 부등식 시스템에 의해 정의되며, M과 D(M)는 동형이 아닐 수 있다는 것이다. 주요 결과인 Theorem 1.6은 다음을 보인다. 주어진 부등식 모노이드 M과 그 이중 D(M) 사이에 자연수 튜플 (n₁,…,n_k)∈ℕᵏ가 공통으로 포함될 경우, 적절한 필드 F와 충분히 큰 확장체 E 위의 반국소 F‑알제브라 R을 구성할 수 있다. 이때 φ: R→S (S=∏_{i=1}^k M_{n_i}(E))는 전사 사상이며 Ker φ=J(R)이다. 또한 dim_φ(V\*(R))=M, dim_φ(V\*(Rᵒ))=D(M)이며, 라디칼 위에서 유한 생성인 사영 모듈들의 모노이드 W(R), W(Rᵒ)도 각각 M∩ℕᵏ와 D(M)∩ℕᵏ와 일치한다. 즉, 오른쪽 사영 모듈들의 차원 모노이드는 주어진 부등식 시스템 그대로, 왼쪽 사영 모듈들의 차원 모노이드는 부등식 부호를 뒤집은 형태가 된다. 이 정리를 바탕으로 저자들은 여러 구체적인 예를 제시한다. 예제 3.6에서는 R/J(R)≅D₁×D₂인 반국소 링을 만들고, 모든 오른쪽 사영 모듈이 자유이지만 왼쪽에는 자유가 아닌 무한 생성 사영 모듈이 존재함을 보인다. 이는 Fuller‑Shutters가 제기한 “모든 오른쪽 사영 모듈이 자유이면 왼쪽도 자유인가?”라는 질문에 부정적인 답을 제공한다. 또 다른 예에서는 R/J(R)≅D₁×D₂이면서, 라디칼을 지나면 유한 생성이 되는 무한 생성 사영 모듈이 존재함을 보여준다. 이러한 모듈들은 기존 문헌에서 드물게 나타났던 Gerasimov‑Sakhaev, Sakhaev의 예를 일반화한 것으로, 풀백 구조와 부등식 모노이드 이론을 이용해 체계적으로 구축할 수 있음을 증명한다. 섹션 2에서는 사영 모듈과 라디칼 사이의 관계를 정리한다. Lemma 2.1과 Theorem 2.2는 유한 생성 사영 모듈에 대해 “라디칼 위에서 동형이면 전체가 동형”이라는 기본 사실을 재확인하고, 이를 가산 생성 사영 모듈에도 확장한다. 특히, Corollary 2.3은 가산 생성 사영 모듈 P에 대해, 라디칼 위에서 항등을 보존하는 사상 f가 주어지면, 임의의 유한 부분집합을 고정하면서 전체를 항등으로 만드는 전단사 g를 구성할 수 있음을 보여준다. 이는 이후 풀백 링을 구성할 때 사영 모듈을 “라디칼 위에서 조정”하는 기술적 핵심이다. 섹션 3에서는 앞서 제시된 이론을 실제 예제로 적용한다. 3.6(ii)와 (iii)에서는 부등식 시스템을 선택해 M과 D(M)을 구체화하고, 해당 시스템을 만족하는 반국소 링 R을 풀백으로 만든다. 여기서 사용된 풀백은 두 개의 사상 ϕ₁: A→S₁, ϕ₂: B→S₂를 갖는 링 A, B와, 공통 이미지 C를 갖는 사상들을 이용해 R = {(a,b)∈A×B | ϕ₁(a)=ϕ₂(b)} 형태로 정의한다. Milnor의 결과(