순서보존 요인분석을 통한 시간연속 데이터의 공통 요인 탐색

본 논문은 “Order‑Preserving Factor Analysis (OPFA)”라는 새로운 요인분석 기법을 제안한다. 전통적인 요인분석은 관측 데이터가 여러 잠재 요인의 선형 결합으로 이루어졌다고 가정하지만, 시간에 따라 변수들이 특정 순서대로 활성화되는 현상을 반영하지 못한다. 예를 들어, 유전자 발현 시간코스, 뇌파 신호, 혹은 제조 공정에서 단계별로 활성화되는 요인들은 앞선 요인이 충분히 활성화된 뒤에야 다음 요인이 작동한다는 선후 관계를 가진다. 이러한 선후 관계는 실제 시스템의 인과 구조를 이해하는 데 핵심적인 정보를 제공한다. OPFA는 이러한 요구를 충족시키기 위해 다음과 같은 모델을 설계한다. 관측 행렬 \(X \in \mathbb{R}^{T \times N}\) (시간 \(T\) × 변수 \(N\)) 를 \(K\) 개의 요인으로 분해한다. 각 요인 \(k\) 는 (1) 시간에 따른 스코어 \(S_k \in \mathbb{R}^{T}\) 와 (2) 변수에 대한 로딩 \(L_k \in \mathbb{R}^{N}\) 를 갖는다. 여기서 가장 중요한 구성 요소는 요인별 지연 연산자 \(\Pi_k\) 이다. \(\Pi_k\)는 순환(shift) 행렬 형태로, 요인 \(k\) 가 실제로 관측에 나타나는 시점을 앞선 요인들의 지연에 따라 조정한다. 즉, \(\Pi_k\)는 “요인 \(k\) 는 최소 \(d_k\) 시간 단위 뒤에야 활성화된다”는 제약을 수학적으로 구현한다. 전체 모델은 다음과 같이 표현된다. \