시간상관성을 활용한 반복 가중치 기반 희소 신호 복구

본 논문은 다중 측정 벡터(MMV) 모델 Y = ΦX + V 에서 행(row) 단위의 공통 희소성을 전제로, 각 행 X_i· 이 시간에 따라 상관된 L‑차원 벡터라는 현실적인 가정을 도입한다. 기존의 반복 가중치 알고리즘(ℓ₁, ℓ₂ 기반)은 이러한 시간 상관성을 무시하고, 행의 ℓ₂ 노름만을 가중치로 사용해 복구 성능이 급격히 저하되는 문제점을 가지고 있다. 이를 해결하기 위해 저자들은 블록 희소 베이지안 학습(bSBL) 프레임워크를 활용한다. bSBL에서는 각 행을 다변량 정규분포 N(0, γ_i B) 로 모델링하고, γ_i 는 행의 활성화 정도를, B 는 전체 소스의 시간 상관 구조를 나타내는 양정치 행렬이다. 과적합을 방지하기 위해 모든 행에 동일한 B 를 가정하고, Σ₀ = Γ⊗B (Γ는 γ_i 대각 행렬) 를 정의한다. 비대칭 가중치 ℓ₂ 프레임워크(식 2)를 비용 함수 L(Θ) 에 대입하고, 듀얼리티 이론을 적용해 원본 소스 공간 x 에 대한 상한을 구한다. 이 과정에서 가중치 1/γ_i 가 행 x_i 에 대한 Mahalanobis 거리 x_iᵀ B⁻¹ x_i 에 비례함을 확인한다. 따라서 기존 ℓ₂ 가중치를 단순 ℓ₂ 노름 대신 Mahalanobis 거리로 대체하면, 시간 상관성을 자연스럽게 반영한 비분리형 가중치 업데이트가 가능해진다. 제안된 알고리즘(ReSBL‑QM)의 핵심 업데이트는 다음과 같다. 1️⃣ X 업데이트: X^{(k+1)} = W Φᵀ(λI + ΦWΦᵀ)⁻¹Y, 여기서 W = diag(1/γ_i). 2️⃣ γ_i 업데이트: γ_i^{(k+1)} = (1/L)